Question

S(n) – сумма цифр числа n. Найдите n, если S(n) + n = 125

Answer 1

Ответ: 121

Объяснение:

Предположим, что число n - двузначное, тогда

max(S(n) +n) наступает когда n = 99

max(S(n) +n) = 18+99 = 117<125

Значит n - трехзначное.

Первый способ.

Заметим, что число n дает тот же остаток от деления на 9, что и сумма его цифр S(n) . Число 125 дает при делении на 9 остаток 8.

n может давать при делении на 9 остатки

p∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8}

2*p∈{0,2,4,6,8,10,12,14,16}  из данных чисел только  8 дает при делении на 9 остаток 8, значит p=4

Для чисел от 100 до 125 таких чисел всего 3: 103; 112; 121 .

Подставляя эти числа в n+S(n)  убеждаемся, что подходит только n=121

S(121) +121 = 121 +4 = 125

Второй способ.

n = 100 + 10a + b  , где a∈{0;1;2} , b∈{0,1,2,3...9}

S(n) = 1+a+b

n+S(n) = 101 +11*a +2b = 125

11*a+2*b =24

1) a=0 → 2b=24  → b = 12 >9

2) a=1 → 2b= 24-11 = 13 не делится на 2

3) a=2 → 2b = 24-22=2 →b=1 (подходит)

То есть искомое число 121

Answer 2

Давайте рассмотрим это уравнение:

S(n) + n = 125

где S(n) - сумма цифр числа n, а n - само число.

Сумма цифр числа n не может быть больше 9 * количество цифр в числе. Например, для трехзначного числа максимальная сумма его цифр составит 9 + 9 + 9 = 27.

Таким образом, у нас есть ограничение:

S(n) <= 9 * количество цифр в n

Из уравнения мы видим, что S(n) + n = 125. Так как S(n) ограничена сверху 9 * количество цифр в n, нам нужно подобрать n так, чтобы оно не было слишком большим, чтобы в сумме с S(n) оно давало 125.

Давайте рассмотрим варианты:

1. Если n - однозначное число, то максимальная сумма его цифр равна 9, и нам нужно найти n такое, что 9 + n = 125. Однако в этом случае n будет намного больше 125, что не подходит.

2. Если n - двузначное число, то максимальная сумма его цифр равна 18. Нам нужно найти n такое, что 18 + n = 125. В этом случае n = 125 - 18 = 107.

3. Если n - трехзначное число, то максимальная сумма его цифр равна 27. Нам нужно найти n такое, что 27 + n = 125. В этом случае n = 125 - 27 = 98.

Итак, есть два возможных варианта: n = 107 или n = 98. Оба этих числа удовлетворяют условию S(n) + n = 125.