Question

Найдите наименьшее расстояние между графиками функция y = -x+1 и y = x^2-5x+6

Answer 1

Даны парабола y = x² - 5х + 6 и прямая y = -x + 1.

Вычтем первого уравнения второе и получим функцию зависимости расстояния по оси «у» между заданными линиями:

f(x) = x² - 4x + 5.

Найдём производную этой функции для определения экстремума.

f'(x) = 2x - 4.

Приравняем нулю:

2х - 4 = 0.

х = 4/2 = 2.

Найдём знаки производной f'(x) = 2x - 4.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.

Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точка минимума.

х =     1     2     3

y' =   -2     0     2.

Поэтому в точке х = 2 имеем минимум функции.

Если по оси у расстояние между линиями минимально, то оно и по оси х будет тоже минимальным.

Находим вертикальное расстояние по разности ординат:

параболы у(2) = 2² *5*2 + 6 = 0,

прямой     у(2) = -1*2 + 1  = -1.

Δу = 0-(-1) = 1.

Расстояние d по перпендикуляру к прямой равно:

d = Δy*cos α.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен -1 (по уравнению у = кх + в, где к это тангенс угла).

cos α = 1/√(1+tg²α) = 1/√(1+1) = 1/√2 = √2/2.

Отсюда получаем ответ:

d = 1*(√2/2) = √2/2 ≈ 0,7071.

Аналогичный ответ можно получить, если точку минимального расстояния от параболы до прямой найти с помощью касательной, угловой коэффициент (и значение производной) которой равен -1 (как у заданной прямой).

Получаем 2х - 5 = -1, х = 4/2 = 2. Это точка с минимальным расстоянием до прямой у = -х + 1.

Далее через точку х = 2 проводим нормаль к прямой и ищем точку пересечения. По разности координат находим длину перпендикуляра - то есть наименьшего расстояния.  

Answer 2

Для нахождения наименьшего расстояния между графиками данных функций, нужно найти точку на каждом из графиков, которая находится на наименьшем расстоянии от другого графика. Это можно сделать, найдя точку, в которой производные обеих функций равны между собой.

Давайте начнем с поиска точек на графиках функций. У нас есть две функции:

1. y = -x + 1
2. y = x^2 - 5x + 6

Первая функция - линейная, вторая - квадратичная. Поскольку мы ищем точку, где производные обеих функций равны, найдем производные:

1. Производная первой функции: y' = -1
2. Производная второй функции: y' = 2x - 5

Теперь найдем точку, в которой производные равны:

-1 = 2x - 5

Решив это уравнение, получим:

2x = 4 x = 2

Подставляем x в первую функцию, чтобы найти соответствующее значение y:

y = -x + 1 y = -2 + 1 y = -1

Итак, точка, в которой производные функций равны, равна (2, -1).

Теперь мы можем найти расстояние между этой точкой и обоими функциями:

1. Для функции y = -x + 1: Расстояние = |y_функция1 - y_точка| = |-(-1) + 1| = 2

2. Для функции y = x^2 - 5x + 6: Расстояние = |y_функция2 - y_точка| = |(2)^2 - 5(2) + 6 - (-1)| = 1

Итак, наименьшее расстояние между графиками функций y = -x + 1 и y = x^2 - 5x + 6 составляет 1.