Question

2013^2015:5 найти остаток

Answer 1

$2013^{2015}\equiv -2^{2015}\mod 5$; $2^4\equiv 1 \mod 5$, поэтому $-2^{2015}\equiv -2^{503\times 4}\times 2^{3}\equiv -(2^4)^{503}\times 3\equiv-3\equiv 2\mod 5$. Значит, остаток равен 2.

Answer 2

Использовал теорему Султанова, которая сокращает решение.

аⁿ ≡аⁿ ⁻⁴ на одном шаге, т.к. 2013=2010+3 , 2010 кратно пяти, остается выяснить, какой остаток от деления 3²⁰¹⁵;

3²⁰¹⁴ ≡3⁵⁰³*⁴ ⁺³ ≡3³ ≡2

Ответ Остаток равен 2.

Answer 3

Чтобы найти остаток от деления числа 2013^2015 на 5, можно воспользоваться свойством остатка от деления степени числа.

Поскольку последняя цифра числа 2013 равна 3, а 3^1, 3^2, 3^3 и так далее по циклу дают остатки 3, 4, 2, 1, 3, 4, 2, 1 и так далее при делении на 5, мы можем заметить, что степени 2013 также будут давать остатки, повторяющиеся по этому циклу.

Так как 2015 = 2014 + 1, мы можем выразить 2013^2015 как (2013^2014 * 2013^1). Остаток от деления 2013^2014 на 5 равен остатку от деления 4^2014 на 5, который также повторяется по циклу.

Рассмотрим цикл остатков при делении 4^k на 5: 4, 1, 4, 1 и так далее. Заметим, что четные степени дают остаток 1, а нечетные степени дают остаток 4.

Так как 2014 - это четное число, остаток от деления 2013^2014 на 5 равен 1. Теперь остается найти остаток от деления 2013^1 на 5, который равен 3.

Итак, остаток от деления 2013^2015 на 5 равен остатку от деления (1 * 3) на 5, что равно 3.