Question

Обчисліть значення виразу tg²α + ctg²α, якщо tgα+ ctgα = 3.

Answer 1

$tg^2a+ctg^2a=?\\tga+ctga=3\\(tga+ctga)^2=3^2\\tg^2a+2tgactga+ctg^2a=9\\tg^2a+ctg^2a=9-2=7$

Answer 2

Ми маємо дане, що tgα + ctgα = 3. Щоб обчислити значення виразу tg²α + ctg²α, спершу спростимо його.

Ми знаємо, що ctgα = 1 / tgα. Підставимо це значення в рівняння tgα + ctgα = 3:

tgα + 1 / tgα = 3.

Зведемо це рівняння до спільного знаменника:

(tgα * tgα + 1) / tgα = 3.

Розширимо це рівняння:

tg²α + 1 = 3 * tgα.

Тепер ми можемо виразити tg²α:

tg²α = 3 * tgα - 1.

Таким чином, ми отримали вираз для tg²α. Тепер підставимо це значення в вираз tg²α + ctg²α:

tg²α + ctg²α = (3 * tgα - 1) + (1 / tgα)².

Спростимо другий доданок:

(1 / tgα)² = 1 / (tgα * tgα) = ctg²α.

Таким чином, вираз спрощується до:

tg²α + ctg²α = 3 * tgα - 1 + ctg²α.

Ми вже знаємо, що tgα + ctgα = 3, тому:

tg²α + ctg²α = 3 * tgα - 1 + (3 - tgα)².

Розкриємо квадрат:

tg²α + ctg²α = 3 * tgα - 1 + 9 - 6 * tgα + tg²α.

Зведемо подібні члени:

tg²α + ctg²α = 10 - 3 * tgα.

Таким чином, значення виразу tg²α + ctg²α дорівнює 10 - 3 * tgα.