Question

Доказать тождество: 1 - (sinA + cosA)^2 / sinAcosA - ctgA = 2tg^2A

Answer 1

Объяснение:

Держи если это тебя сложно

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы начнем с левой стороны и будем постепенно преобразовывать ее до правой стороны:

Левая сторона: 1 - (sinA + cosA)^2 / (sinA*cosA) - ctgA

1 - (sin^2A + 2sinAcosA + cos^2A) / (sinAcosA) - ctgA

1 - (1 + 2sinAcosA) / (sinAcosA) - ctgA

Теперь преобразуем ctgA в виде cosA / sinA:

1 - (1 + 2sinAcosA) / (sinAcosA) - cosA / sinA

Затем объединим дроби в одну:

(sinAcosA - (1 + 2sinAcosA)) / (sinA*cosA) - cosA / sinA

(-1 - sinAcosA) / (sinAcosA) - cosA / sinA

После этого преобразуем в общий знаменатель:

[-(1 + sinAcosA)sinA - (cosAcosA)] / (sinAcosA)

-(sinA + sinAsinAcosA - cosAcosA) / (sinAcosA)

-(sinA*(1 + sinAcosA) - cosAcosA) / (sinA*cosA)

-(sinAsinAcosA + sinA - cosAcosA) / (sinAcosA)

-(sin^2AcosA + sinA - cos^2A) / (sinAcosA)

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами sin^2A + cos^2A = 1 и cos^2A = 1 - sin^2A:

-[(1 - sin^2A)cosA + sinA - (1 - sin^2A)] / (sinAcosA)

-[(cosA - sin^2AcosA + sinA - 1 + sin^2A)] / (sinAcosA)

-(cosA - sin^2AcosA + sinA - 1 + sin^2A) / (sinAcosA)

-(cosA + sinA - 1) / (sinA*cosA)

-(1 - (cosA + sinA)) / (sinA*cosA)

-(1 - sqrt(2)sin(A + π/4)) / (sinAcosA)

Теперь воспользуемся тождеством tg(2θ) = (2tgθ) / (1 - tg^2θ):

-(1 - sqrt(2)sin(A + π/4)) / (sinAcosA) = 2*tg(A + π/4) / [1 - tg^2(A + π/4)]

Поскольку tg(A + π/4) = (sin(A + π/4)) / (cos(A + π/4)) = (sinA + cosA) / (cosA - sinA):

2tg(A + π/4) / [1 - tg^2(A + π/4)] = 2(sinA + cosA) / [(cosA - sinA)^2 - (sinA + cosA)^2