Question

134 Площадь прямоугольного треугольника равна . Найдите длины сторон треугольника, если они составляют арифметическую прогрессию

Answer 1

Будем считать, что площадь равна 150 кв.ед.

Пусть один катет равен x, второй x + a, гипотенуза x + 2a.

При двух неизвестных надо составить 2 уравнения.

Первое по Пифагору.

x² + (x + a)² = (x + 2a)².

x² + x² + 2ax + a² = x² + 4ax + 4a².

x² - 2ax - 3a² = 0.   D = 4a² - 4*1*3a² = 16a².  √D = 4a.

x₁ = (2a - 4a)/2 = -a  (отрицательное значение не принимаем).

x₂ = (2a + 4a)/2 = 3a.

Второе по площади: (1/2)*x*(x + a) = 150.

x² + ax = 300. Вместо х подставим 3a.

9a² + 3a² = 300.

12a² = 300,   a² = 300/12 = 25, a = √25 = 5.

Отсюда находим стороны треугольника.

х = 3а = 3*5 = 15.

х + а = 15 + 5 = 20.   Это катеты.

Гипотенуза равна 15 + 2*5 = 25.

Answer 2

Для начала, давайте обозначим длины сторон прямоугольного треугольника как a, b и c, где a < b < c. Также, давайте обозначим площадь треугольника как S.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через длины его сторон следующим образом:

S = (1/2) * a * b

Известно, что длины сторон образуют арифметическую прогрессию, то есть b = a + d и c = a + 2d, где d - это разность в арифметической прогрессии.

Таким образом, у нас есть система уравнений:

1. S = (1/2) * a * (a + d)
2. S = 134

Подставив значение S из уравнения (2) в уравнение (1), получим:

(1/2) * a * (a + d) = 134

Разрешим это уравнение относительно a:

a * (a + d) = 268 a^2 + ad = 268

Так как нам нужно найти длины сторон, то мы можем рассмотреть различные значения для a и d, которые удовлетворяют этому уравнению.

Например, возьмем a = 12 и d = 8:

a = 12 b = 20 c = 28

Проверим, выполняется ли условие площади:

S = (1/2) * 12 * 20 = 120

Это не совсем равно 134. Таким образом, у нас нет целочисленного решения для данных условий площади и арифметической прогрессии.

Пожалуйста, проверьте данные или предоставьте дополнительные детали, чтобы мы могли продолжить поиск правильного решения.