Question

При каких значениях `c` значение квадратного трёхчлена положительно при любом `x`: а) `x^2-12x+c`; б) `4x^2-12x+c`? ПОЖАЛУЙСТА С ПОЛНЫМ РЕШЕНИЕМ!!!

Answer 1

Ответ:

a) c>36   б) c>9

Объяснение:

a) если приравняем к 0, то у этого уравнения не должно быть корней, т.е. D<0

x²-12x-c=0

D=(-12)²-4c=144-4c

144-4c<0

4c>144

c>36

можно проверить, допустим для с=37, подставим и выделим полный квадрат

x²-12x+37=x²-2·x·6+36-36+37=(x²-12x+36)-36+37=(x-6)²+1

это выражение будет положительным для любого х

б)4x²-12x+c=0

D=(-12)²-4·4·c=144-16c

144-16c<0

16c>144

c>9

проверим, допустим с=10, подставим и выделим полный квадрат

4x²-12x+10=(2x)²-2·2x·3+9-9+10=(4x²-12x+9)-9+10=(2x-3)²+1

это выражение всегда положительно для любого х

Answer 2

Для того чтобы определить при каких значениях параметра c значение квадратного трехчлена положительно при любом x, нужно учесть дискриминант и коэффициент при x^2.

a) Для квадратного трехчлена x^2 - 12x + c, нам необходимо, чтобы дискриминант был отрицательным или нулевым (чтобы парабола не пересекала ось x и была всегда выше её) и чтобы коэффициент при x^2 был положительным (чтобы парабола была направлена вверх).

1. Дискриминант: Дискриминант квадратного трехчлена ax^2 + bx + c вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. В данном случае a = 1, b = -12, c = c. Дискриминант должен быть неотрицательным: D ≥ 0.

   Значит, (-12)^2 - 4 * 1 * c ≥ 0. 144 - 4c ≥ 0. 4c ≤ 144. c ≤ 36.

2. Коэффициент при x^2: Коэффициент a должен быть положительным, то есть a > 0. В данном случае a = 1, что удовлетворяет условию.

Итак, для квадратного трехчлена x^2 - 12x + c, значение c должно удовлетворять двум условиям: c ≤ 36 и c может быть любым положительным числом.

б) Для квадратного трехчлена 4x^2 - 12x + c, опять же, нужно чтобы дискриминант был отрицательным или нулевым и коэффициент при x^2 был положительным.

1. Дискриминант: В данном случае a = 4, b = -12, c = c. Дискриминант должен быть неотрицательным: D ≥ 0.

   Значит, (-12)^2 - 4 * 4 * c ≥ 0. 144 - 16c ≥ 0. 16c ≤ 144. c ≤ 9.

2. Коэффициент при x^2: Коэффициент a равен 4, что удовлетворяет условию.

Итак, для квадратного трехчлена 4x^2 - 12x + c, значение c должно удовлетворять двум условиям: c ≤ 9 и c может быть любым положительным числом.

Таким образом, решение: а) Для любого положительного c такого, что c ≤ 36. б) Для любого положительного c такого, что c ≤ 9.