Question

Докажите косвенным методом, что существует бесконечно много натуральных чисел, имеющих вид 4k+1, где k принадлежит N

Answer 1

Ответ:

число 4k+1 всегда является натуральным при любом натуральном k. Предположим что множество натуральных чисел 4k+1 конечное. Тогда существует такое значение k=x выше которого числа не смогут превышать данное число то есть 4k+1<=4x+1 4k<=4x kx.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение от противного, используя метод доказательства от противного (косвенный метод). Предположим, что существует только конечное число натуральных чисел вида $4k+1$, где $k$ принадлежит множеству натуральных чисел $\mathbb{N}$. Пусть множество таких чисел обозначается как $S$.

1. Пусть $n$ - наибольшее число в множестве $S$. То есть, существует такое натуральное $n$, что $n = 4k + 1$ для некоторого натурального $k$.

2. Рассмотрим число $n + 4$. Это число также имеет вид $4k' + 1$, где $k' = k + 1$. Однако, по предположению, множество $S$ содержит все такие числа, и $n + 4$ должно быть в этом множестве.

3. Теперь у нас есть два числа: $n$ и $n + 4$, оба принадлежащих множеству $S$. Рассмотрим их разность: $n + 4 - n = 4$. Это число также должно принадлежать множеству $S$, так как оно также имеет вид $4k'' + 1$, где $k'' = 1$.

4. Однако, мы знаем, что единственное натуральное число, имеющее вид $4 \cdot 1 + 1 = 5$, уже присутствует в множестве $S$. Таким образом, мы пришли к противоречию: число $4$ не может быть членом множества $S$, так как оно уже содержится в нем.

5. Противоречие означает, что наше изначальное предположение о конечности множества $S$ было неверным. Следовательно, множество натуральных чисел вида $4k+1$ бесконечно.

Таким образом, мы доказали косвенным методом, что существует бесконечно много натуральных чисел, имеющих вид $4k+1$, где $k$ принадлежит множеству натуральных чисел $\mathbb{N}$.