Question

Найдите наименьший положительный период функции: 1) у=2sin2x 2)y=sin4xcosx+sinxcos4x 3)y=2/3sin3x+1 4)y=sinxcosx 5)y=sin4xcos3x-sin3xcos4x 5)y=sin3xcos3x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) у=2sin2x; T=2π/2=π

2)y=sin4xcosx+sinxcos4x=sin(4x+x)=sin5x; T=2π/5

3)y=2/3sin3x+1  T=2π/3

4)y=sinxcosx=1/2sin2x; T=2π/2=π

5)y=sin4xcos3x-sin3xcos4x=sin(4x-3x)=sinx;  T=2π

6) y=sin3xcos3x=1/2 sin6x; T=2π/6=π/3

Answer 2

Для нахождения наименьшего положительного периода функции, нужно найти такое значение $T$, при котором функция повторяется. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности:

1. $y = 2\sin^2(x)$: Заметим, что $\sin^2(x)$ имеет период $\pi$, так как $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$ и квадрат имеет тот же знак. Таким образом, функция $y = 2\sin^2(x)$ будет иметь период $T = \pi$.

2. $y = \sin(4x)\cos(x) + \sin(x)\cos(4x)$: Здесь важно использовать свойство $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$. Применяя это свойство, мы можем преобразовать данную функцию: $y = \sin(4x)\cos(x) + \sin(x)\cos(4x) = \sin(4x + x) = \sin(5x)$ Период функции $y = \sin(5x)$ равен $T = \frac{2\pi}{5}$, так как $\sin(5x + \frac{2\pi}{5}) = \sin(5x)$.

3. $y = \frac{2}{3}\sin(3x) + 1$: Функция $y = \frac{2}{3}\sin(3x) + 1$ имеет период $T = \frac{2\pi}{3}$, так как $\sin(3x + \frac{2\pi}{3}) = \sin(3x)$.

4. $y = \sin(x)\cos(x)$: Заметим, что $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$. Функция $\sin(2x)$ имеет период $T = \pi$, поэтому функция $y = \sin(x)\cos(x)$ имеет период $T = 2\pi$.

5. $y = \sin(4x)\cos(3x) - \sin(3x)\cos(4x)$: Аналогично второму случаю, мы можем использовать свойства тригонометрии для преобразования функции: $y = \sin(4x)\cos(3x) - \sin(3x)\cos(4x) = -\sin(7x)$ Период функции $y = -\sin(7x)$ равен $T = \frac{2\pi}{7}$, так как $-\sin(7x + \frac{2\pi}{7}) = -\sin(7x)$.

6. $y = \sin(3x)\cos(3x)$: Заметим, что $\sin(3x)\cos(3x) = \frac{1}{2}\sin(6x)$. Функция $\sin(6x)$ имеет период $T = \frac{\pi}{3}$, поэтому функция $y = \sin(3x)\cos(3x)$ имеет период $T = \frac{2\pi}{3}$.

Итак, наименьший положительный период для каждой функции:

1. $y = 2\sin^2(x)$ - $T = \pi$
2. $y = \sin(4x)\cos(x) + \sin(x)\cos(4x)$ - $T = \frac{2\pi}{5}$
3. $y = \frac{2}{3}\sin(3x) + 1$