Question

Вычислить ctg(arcsin (1/4))

Answer 1

Ответ: 3.87298334621

Объяснение:

Answer 2

Для вычисления значения функции cтангенса гиперболического арксинуса, сначала нам потребуется найти значение арксинуса:

$\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$

Поскольку $\sin(\arcsin(x)) = x$ для всех допустимых значений $x$, мы имеем:

$\sin\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right) = \frac{1}{4}$

Теперь, чтобы вычислить котангенс гиперболического арксинуса, нам понадобится знать его определение:

$\text{ctg}(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Используя соотношения тригонометрии, можно найти $\cos(x)$ и $\sin(x)$:

$\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2(x)}}$

$\cos(x) = \frac{\cot(x)}{\sqrt{1 + \cot^2(x)}}$

Совмещая эти два соотношения, мы получаем:

$\text{ctg}(x) = \sqrt{1 + \cot^2(x)}$

Теперь мы можем вычислить $\text{ctg}(\arcsin(1/4))$:

$\text{ctg}\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right) = \sqrt{1 + \cot^2\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right)}$

Подставляем значение $\sin\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right) = \frac{1}{4}$:

$\text{ctg}\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right) = \sqrt{1 + \cot^2\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right)} = \sqrt{1 + \frac{\cos^2\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right)}{\sin^2\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right)}}$

Используем соотношение $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$:

$\text{ctg}\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right) = \sqrt{1 + \frac{1 - \sin^2\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right)}{\sin^2\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right)}} = \sqrt{1 + \frac{1 - \frac{1}{16}}{\frac{1}{16}}}$

Вычисляем:

$\text{ctg}\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right) = \sqrt{1 + \frac{16 - 1}{1}} = \sqrt{16} = 4$

Итак, значение выражения $\text{ctg}\left(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right)$ равно 4.