Question

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента Найдите cos4x, если tg2x=8

Answer 1

$tg2x=8\ \ \ \ \ \ \ \boxed {\ cos\alpha =\dfrac{1-tg^2\frac{\alpha }{2}}{1+tg^2\frac{\alpha }{2}}\ }\\\\\\cos4x=\dfrac{1-tg^22x}{1+tg^22x}=\dfrac{1-64}{1+64}=\dfrac{-63}{65}=-0,9692$

Answer 2

Мы знаем, что $\tan(2x) = 8$. Мы также можем выразить тангенс половинного аргумента через тангенс двойного аргумента:

$\tan(2x) = \frac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$

Подставляя значение $\tan(2x) = 8$, мы получаем уравнение:

$8 = \frac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$

Решим это уравнение относительно $\tan(x)$:

$8(1 - \tan^2(x)) = 2 \tan(x)$

$8 - 8\tan^2(x) = 2\tan(x)$

$8\tan^2(x) + 2\tan(x) - 8 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $\tan(x)$. Решение может быть найдено с использованием квадратного трёхчлена или других методов решения квадратных уравнений.

$\tan(x) = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-8)}}{2 \cdot 8}$

$\tan(x) = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 256}}{16}$

$\tan(x) = \frac{-2 \pm \sqrt{260}}{16}$

Так как тангенс - это отношение противоположной и прилежащей сторон треугольника, и дано, что $\tan(x) > 0$, мы можем выбрать положительный корень:

$\tan(x) = \frac{-2 + \sqrt{260}}{16}$

Затем мы можем найти $\cos(4x)$ с использованием тригонометрических идентичностей. Одной из таких идентичностей является:

$\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)}$

Так как у нас уже есть значение $\tan(x)$, мы можем выразить $\cos(2x)$ через него и затем использовать удвоенный угол для нахождения $\cos(4x)$.