Question

Найдите абсциссы точек, в которых графики функций пересекаются. y=(x²-3)²y=x²-3​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x_{1} =- \sqrt{3} ; \;\;\; x_{2} = \sqrt{3} ; \\\\ x_{3} =-2 ; \;\;\; x_{4} =2$

Объяснение:

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функции, нужно решить систему уравнений.

$\displaystyle \begin{cases} y =(x^{2}-3)^{2} \\y =x^{2}-3 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки:

$\displaystyle (x^{2}-3)^{2} = x^{2}-3 \\(x^{2}-3)^{2}- (x^{2}-3)=0$

Обозначим (x^{2}-3) = t

$\displaystyle t^{2} -t =0\\t(t - 1)=0\\\\\left[ \begin{gathered} t=0\\ t-1=0 \\ \end{gathered} \right \\ t_{1} =0; \;\;\;x^{2}-3=0;\;\;\; x^{2}=3;\\\\ x_{1} =- \sqrt{3} ; \;\;\; x_{2} = \sqrt{3} ; \\\\t_{2}=1; \;\;\;x^{2}-3=1;\;\;\; x^{2}=4;\\\\ x_{3} =- \sqrt{4}=-2 ; \;\;\; x_{4} = \sqrt{4}=2$

Так как по условию нужно найти только абсциссы точек (т.е. координаты x), то координаты y определять не будем.

Ответ:

$\displaystyle x_{1} =- \sqrt{3} ; \;\;\; x_{2} = \sqrt{3} ; \\\\ x_{3} =-2 ; \;\;\; x_{4} =2$

Answer 2

Для того чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций y = (x² - 3)² и y = x² - 3, нужно найти значения x, при которых обе функции принимают одинаковое значение y.

Поставим уравнение:

(x² - 3)² = x² - 3

Раскроем квадрат налево:

x⁴ - 6x² + 9 = x² - 3

Приравняем уравнение к нулю:

x⁴ - 7x² + 12 = 0

Теперь это уравнение можно решить, например, используя подстановку z = x²:

z² - 7z + 12 = 0

Факторизуем:

(z - 3)(z - 4) = 0

Получаем два значения z: z = 3 и z = 4. Так как z = x², то:

1. x² = 3
2. x² = 4

Возьмем квадратные корни:

1. x = ±√3
2. x = ±2

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков функций y = (x² - 3)² и y = x² - 3 равны -√3, √3, -2 и 2.