Question

Найдите производную f(x)=(3+12x)⁵

Answer 1

$f(x)=(3+12x)^5\\\\f'(x)=5\, (3+12x)^4\cdot (3+12x)'=5\, (3+12x)^4\cdot 12=60\, (3+12x)^4$

Answer 2

Чтобы найти производную функции f(x) = (3 + 12x)⁵, мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования суммы. Применим эти правила поочередно:

1. Правило дифференцирования суммы: Поскольку f(x) = (3 + 12x)⁵, мы можем разложить её на сумму двух слагаемых: f(x) = 3⁵ + 5 * (3⁴) * (12x) + 10 * (3³) * (12x)² + 10 * (3²) * (12x)³ + 5 * 3 * (12x)⁴ + (12x)⁵.

2. Правило дифференцирования степенной функции: Если у нас есть функция g(x) = (ax + b)ⁿ, то её производная равна произведению n * a * (ax + b)⁽ⁿ⁻¹⁾.

Применим это правило к каждому слагаемому в сумме:

f'(x) = 0 + 5 * 3⁴ * 12 * (3 + 12x)⁽⁵⁻¹⁾ + 10 * 3³ * 12² * (3 + 12x)⁽⁵⁻²⁾ + 10 * 3² * 12³ * (3 + 12x)⁽⁵⁻³⁾ + 5 * 3 * 12⁴ * (3 + 12x)⁽⁵⁻⁴⁾ + 12⁵ * (3 + 12x)⁽⁵⁻⁵⁾.

Упростим это выражение:

f'(x) = 5 * 3⁴ * 12 * (3 + 12x)⁴ + 10 * 3³ * 12² * (3 + 12x)³ + 10 * 3² * 12³ * (3 + 12x)² + 5 * 3 * 12⁴ * (3 + 12x) + 12⁵.

Таким образом, производная функции f(x) = (3 + 12x)⁵ равна f'(x) = 5 * 3⁴ * 12 * (3 + 12x)⁴ + 10 * 3³ * 12² * (3 + 12x)³ + 10 * 3² * 12³ * (3 + 12x)² + 5 * 3 * 12⁴ * (3 + 12x) + 12⁵.