Question

Найдите рациональные корни многочлена и классифицируйте его на множители. 5x^(5)-8x^(4)+46x^(3)+21x^(2)-21x+3

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Т.к. ваш предыдущий вопрос был удален странным модератором, а я на него написал ответ, то даю ответ на тот вопрос в этом:

$x^5-7x^3-12x^2+6x+36=\\=x^5-3x^4+3x^4-9x^3+2x^3-6x^2-6x^2+18x-12x+36=\\=x^4(x-3)+3x^3(x-3)+2x^2(x-3)-6x(x-3)-12(x-3)=\\=(x-3)(x^4+3x^3+2x^2-6x-12)=\\=(x-3)(x^4+2x^3+x^3+2x^2-6x-12)=\\=(x-3)(x^3(x+2)+x^2(x+2)-6(x+2))=\\=(x-3)(x+2)(x^3+x^2-6)$

Понятно, что первые два корня - это 3 и -2.

Решим уравнение:

$x^3+x^2-6=0$

По тригонометрической теореме Виета:

$Q=\dfrac{1}{9}\\\\R=\dfrac{2-27\times 6}{54}=-\dfrac{80}{27}\\\\S=-\dfrac{79}{9}$

Т.к. $S$ и $Q>0$, то:

$\varphi=\dfrac{1}{3}\mathrm{Arch}(80)$

Тогда:

$x=\dfrac{2}{3}\times\mathrm{ch\left(\dfrac{1}{3}arch(80)\right)}-\dfrac{1}{3}\\x=\dfrac{\sqrt[3]{80+9\sqrt{79}}-1}{3}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{80+9\sqrt{79}}}$

Уравнение решено!

Answer 2

Для поиска рациональных корней многочлена, мы можем использовать рациональную теорему корней и проверить делители свободного члена (3) и коэффициента при старшей степени (5) многочлена. Рациональные корни могут быть вида ±p/q, где p - делитель свободного члена, а q - делитель коэффициента при старшей степени.

В данном случае, делители свободного члена 3 это ±1 и ±3, а делители коэффициента при старшей степени 5 это ±1 и ±5.

Подставим эти значения в многочлен и проверим, есть ли корни:

1. Подстановка x = 1: 5(1)^5 - 8(1)^4 + 46(1)^3 + 21(1)^2 - 21(1) + 3 = 5 - 8 + 46 + 21 - 21 + 3 = 6 (не равно 0)

2. Подстановка x = -1: 5(-1)^5 - 8(-1)^4 + 46(-1)^3 + 21(-1)^2 - 21(-1) + 3 = -5 - 8 - 46 + 21 + 21 + 3 = -14 (не равно 0)

3. Подстановка x = 3: 5(3)^5 - 8(3)^4 + 46(3)^3 + 21(3)^2 - 21(3) + 3 = 1215 - 864 + 4146 + 189 - 63 + 3 = 5546 (не равно 0)

4. Подстановка x = -3: 5(-3)^5 - 8(-3)^4 + 46(-3)^3 + 21(-3)^2 - 21(-3) + 3 = -1215 - 864 - 4146 + 189 + 63 + 3 = -6970 (не равно 0)

Исходя из результатов подстановок, мы видим, что ни одно из рассмотренных значений не является корнем многочлена. То есть, у данного многочлена нет рациональных корней.

Теперь давайте классифицируем многочлен на множители. Для этого можно воспользоваться методом синтетического деления или другими методами факторизации. Однако, без дополнительных факторизационных свойств многочлена, я не могу точно определить его множители.