Question

Вопрос про обратную тригонометрическиую функцию. Как связаны Область Определения (ООФ) и Множественное Значение исходной и обратной функций?​​

Answer 1

Областью определения прямой служит множество значений обратной функции. и наоборот.

Answer 2

Обратные тригонометрические функции обладают множественными значениями в силу того, что исходные тригонометрические функции (например, синус, косинус, тангенс и др.) также имеют периодические характеристики, что приводит к многозначности обратных функций.

Область определения (ООФ) и множественное значение обратных тригонометрических функций связаны следующим образом:

1. Область определения исходных функций: Исходные тригонометрические функции (например, синус, косинус, тангенс и др.) определены на определенных интервалах. Например, синус и косинус определены на всей числовой оси, тогда как тангенс имеет периодический характер и не определен в точках, где косинус равен нулю.

2. Множественное значение исходных функций: Поскольку тригонометрические функции имеют периодические характеристики, они могут принимать одно и то же значение в разных точках. Например, синус функция равна 0 в точках $0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \ldots$. Это приводит к тому, что обратная функция (арксинус) будет иметь множество значений для каждого из этих значений синуса.

3. Область определения обратных функций: Обратные тригонометрические функции (например, арксинус, арккосинус, арктангенс и др.) имеют ограниченную область определения, чтобы они могли быть функциями с однозначным значением. Например, арксинус определен на интервале $-\pi/2$ до $\pi/2$, а арккосинус определен на интервале $0$ до $\pi$.

4. Множественное значение обратных функций: Из-за множественных значений исходных функций, обратные функции могут принимать несколько значений для одного и того же входного значения. Например, для арксинуса, который определен на интервале $-\pi/2$ до $\pi/2$, синус значение $0$ соответствует множеству углов: $0$, $\pi$, $2\pi$, и так далее.

Таким образом, множественное значение исходных тригонометрических функций приводит к ограниченной области определения и множественному значению их обратных функций.