Question

Определить объем фигуры полученной вращением графика y=x^3 вокруг оси OX, при x=0, x=2​

Answer 1

Ответ: V=128*π/7.

Объяснение:

1) Находим первообразную V(x)=π*∫y²(x)*dx=π*∫x⁶*dx=π*1/7*x⁷+C, где C - произвольная постоянная.

2) Находим объём тела: V=V(2)-V(0)=π*1/7*2⁷+C-(π*1/7*0⁷+C)=π*1/7*2⁷=128*π/7.

Answer 2

Для определения объема фигуры, полученной вращением графика функции y = x^3 вокруг оси OX на интервале от x = 0 до x = 2, мы можем использовать метод цилиндров разреза.

Идея состоит в том, чтобы разделить интервал [0, 2] на маленькие части и приблизить каждую часть цилиндром. Затем мы суммируем объемы всех этих цилиндров, чтобы получить общий объем фигуры.

Для каждого маленького интервала [x, x+dx], где dx - маленькая приращение, мы можем построить цилиндр радиусом R(x) и высотой dx, где R(x) - значение функции y = x^3 в точке x. Объем такого цилиндра можно вычислить по формуле: V(x) = π * R(x)^2 * dx.

Суммируя объемы цилиндров по всем маленьким интервалам, мы получаем общий объем фигуры:

V = ∫[0, 2] π * R(x)^2 * dx

Для нашего случая, R(x) = x^3, и мы интегрируем на интервале [0, 2]:

V = ∫[0, 2] π * (x^3)^2 * dx

V = ∫[0, 2] π * x^6 * dx

Вычислим этот интеграл:

V = π * ∫[0, 2] x^6 * dx

Для интегрирования этой функции, возьмем неопределенный интеграл:

∫ x^6 * dx = (1/7) * x^7 + C

Применяя пределы интегрирования [0, 2]:

V = π * [(1/7) * 2^7 - (1/7) * 0^7]

V = π * (128/7)

Таким образом, объем фигуры, полученной вращением графика y = x^3 вокруг оси OX, на интервале от x = 0 до x = 2, равен (128/7)π или приближенно 58.04 единиц объема.