Question

Доведіть що квадрат будь якого простого числа окрім 2 і 3 при діленняна 12 в остачі дає 1​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Любое простое число нечетно и его квадрат запишем так  

(2х+1)^2 = 4х^2+4х+1  

т. е. при делении квадрата простого числа на 4 остаток 1  

Любое простое число не делится на 3, значит можно записать или как кратное 3+1 или как кратное 3+2.  

Квадрат такого числа будет выглядеть  

(3х+1)^2 = 9х^2+6х+1  

или  

(3х+2)^2 = 9х^2+12х+4 =9х^2+12х+3+1  

т. е при делении квадрата простого числа на 3 в обоих случаях остаток 1  

В итоге квадрат простого числа можно записать как 4*3*у+1, что равно 12*у+1, что и требовалось, поделив его на 12 получим остаток 1

Answer 2

Давайте розглянемо прості числа, які не є ані 2, ані 3: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 і т.д.

Ми можемо записати ці числа у вигляді 12k ± 1, де k - ціле число.

Наприклад:

• 5 = 12 * 0 + 5
• 7 = 12 * 0 + 7
• 11 = 12 * 0 + 11
• 13 = 12 * 1 + 1
• 17 = 12 * 1 + 5
• 19 = 12 * 1 + 7
• 23 = 12 * 1 + 11
• 29 = 12 * 2 + 5

Зауважте, що квадрат будь-якого з цих чисел буде:

(12k ± 1)² = (144k² ± 24k + 1) = 12(12k² ± 2k) + 1

Тут ми отримали 1 в остачі при діленні на 12.

Отже, квадрат будь-якого простого числа, яке не є ані 2, ані 3, дає 1 в остачі при діленні на 12.