Question

Определите из предложенных ниже вариантов представление бинома в виде многочлена и укажите коэффициент при икс квадрате (3-х)^6

Answer 1

(3-х)^3+3=
(3-х)^3*(3-х)^3=
(27-27х+9х^2-х^3)*(27-27х+9х^2-х^3)=
729-729х+243х^2-27х^3-729х+729х^2-243х^3+27х^4+243х^2+81х^4-9х^5-27х^3+27х^4-9х^5+х^6=
729-1458х+1215х^2-540х^3+135х^4-18х^5+х^6

Answer 2

Для определения представления бинома в виде многочлена можно воспользоваться биномиальной теоремой:

$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} a^{n - k} b^k$,

где $\binom{n}{k}$ - биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n - k)!}$.

В данном случае $a = 3$, $b = -x$ и $n = 6$, поэтому

$(3 - x)^6 = \sum_{k=0}^{6} (-1)^k \binom{6}{k} 3^{6 - k} (-x)^k$.

Коэффициент перед $x^2$ будет соответствовать члену при $k = 4$:

$(-1)^4 \binom{6}{4} 3^{6 - 4} (-x)^4 = \binom{6}{4} 3^2 x^4 = 15 \cdot 9 x^4 = 135 x^4$.