Question

Интеграл в промежутке от 0 до pi/24. 2dx/sin^2(2x-pi/4) СРОЧНО

Answer 1

Ответ:

$\sqrt3-1$

Объяснение:

$\displaystyle\int\limits^{\frac{\pi}{24}} _0{\frac{2dx}{\sin^2\Big(2x-\dfrac\pi4\Big)}}=\int\limits^{\frac{\pi}{24}} _0{\frac{d(2x)}{\sin^2\Big(2x-\dfrac\pi4\Big)}}=\int\limits^{\frac{\pi}{24}} _0{\frac{d\Big(2x-\dfrac\pi4\Big)}{\sin^2\Big(2x-\dfrac\pi4\Big)}}=\int\limits^{\frac{\pi}{24}} _0 -\b{ctg}'\Big(2x-\dfrac\pi4\Big)dx=-\b{ctg}\Big(2x-\frac\pi4\Big)\Bigg|^{\frac\pi{24}}_0=-\b{ctg}(\frac\pi{12}-\frac\pi4)+\b{ctg}\Big(-\frac\pi4\Big)=-\b{ctg}\Big(-\frac\pi6\Big)+\b{ctg}\Big(-\frac\pi4\Big)=\sqrt3-1$

Answer 2

Конечно, я помогу вам вычислить данный интеграл. Давайте начнем:

Интеграл: ∫(0 to π/24) 2dx/sin^2(2x - π/4)

Для упрощения вычислений, заметим, что sin(2x - π/4) = sin(2x - π/2 + π/4) = sin(2x + π/4), так как sin(π/2 - θ) = cos(θ). Таким образом, знаменатель можно переписать в следующем виде:

sin^2(2x - π/4) = sin^2(2x + π/4)

Теперь интеграл примет вид:

∫(0 to π/24) 2dx/sin^2(2x + π/4)

Используем тригонометрический тождество: 1/sin^2(θ) = csc^2(θ)

Теперь интеграл будет:

∫(0 to π/24) 2dx * csc^2(2x + π/4)

Подставим u = 2x + π/4, тогда du = 2dx, и пределы интегрирования также изменятся:

Когда x = 0, u = π/4 Когда x = π/24, u = π/6

Интеграл становится:

(1/2) * ∫(π/4 to π/6) csc^2(u) du

Теперь интегрируем csc^2(u) по u:

(1/2) * (-cot(u)) ∣ from π/4 to π/6

Теперь подставляем пределы и вычисляем:

(1/2) * (-cot(π/6) + cot(π/4)) (1/2) * (-√3 + 1)

Ответ: -√3/2 + 1/2

Пожалуйста, проверьте вычисления, так как они могут содержать опечатки.