Question

Помогите с вышматом, пожалуйста Для функции z=ln(mx^2+ny^2) найти градиент в точке A (-n;m) n=5, m=5

Answer 1

$z = ln(m {x}^{2} + n {y}^{2} ) \\ A( - n;m), \: n = 5, \: m = 5$

Зная значения параметров n и m запишем функцию и точку, в которой будем искать её градиент:

$z = ln(5 {x}^{2} + 5 {y}^{2} ), \: A(-5;5)$

Градиент функции z в точке А(-5;5) будем искать по формуле:

$grad[ z(A)] = \nabla z(A) = z_{x}'(A)i + z_{y}'(A)j$

Найдём производную нашей функции в точке А по х:

$z_{x}' = \frac{ \partial}{ \partial x} ( ln(5 {x}^{2} + 5 {y}^{2} ) ) = \frac{\frac{ \partial}{ \partial x}(5 {x}^{2} + 5 {y}^{2} )}{5 {x}^{2} + 5 {y}^{2} } = \frac{10x}{5 {x}^{2} + 5 {y}^{2} } = \frac{10x}{5( {x}^{2} + {y}^{2} )} = \frac{2x}{ {x}^{2} + {y}^{2} }$

$z_{x}'(A) = \frac{2 \times ( - 5)}{( - 5) {}^{2} + {5}^{2} } = \frac{ - 10}{25 + 25} = - \frac{10}{50} = - 0.2$

Теперь найдём производную функции в точке А по у:

$z_{y}' = \frac{ \partial}{ \partial y} ( ln(5 {x}^{2} + 5 {y}^{2} ) ) = \frac{\frac{ \partial}{ \partial y}(5 {x}^{2} + 5 {y}^{2} )}{5 {x}^{2} + 5 {y}^{2} } = \frac{10y}{5 {x}^{2} + 5 {y}^{2} } = \frac{2y}{ {x}^{2} + {y}^{2} }$

$z_{y}'(A) = \frac{2 \times 5}{{5}^{2} + ( - 5) {}^{2} } = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} = 0.2$

Тогда градиент в точке А данной функции:

$\nabla z(A) = - 0.2i + 0.2j$

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти градиент функции в данной точке. Градиент функции представляет собой вектор, составленный из частных производных функции по каждой из переменных. Для функции $z = \ln(mx^2 + ny^2)$ градиент будет иметь следующий вид:

$\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)$

Сначала найдем частную производную по $x$:

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \ln(mx^2 + ny^2)$

Для этого воспользуемся цепным правилом дифференцирования:

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{mx^2 + ny^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (mx^2 + ny^2)$ $= \frac{2mx}{mx^2 + ny^2}$

Теперь найдем частную производную по $y$:

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \ln(mx^2 + ny^2)$ $= \frac{1}{mx^2 + ny^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (mx^2 + ny^2)$ $= \frac{2ny}{mx^2 + ny^2}$

Таким образом, градиент функции $z = \ln(mx^2 + ny^2)$ в точке $A$ ($-n, m$), при $n = 5$ и $m = 5$, будет:

$\nabla z = \left( \frac{2mx}{mx^2 + ny^2}, \frac{2ny}{mx^2 + ny^2} \right)$ $\nabla z = \left( \frac{10x}{25x^2 + 25y^2}, \frac{10y}{25x^2 + 25y^2} \right)$ $\nabla z = \left( \frac{2x}{5x^2 + 5y^2}, \frac{2y}{5x^2 + 5y^2} \right)$

Подставляя значения $x = -n = -5$ и $y = m = 5$, получаем:

$\nabla z = \left( \frac{2(-5)}{5(-5)^2 + 5(5)^2}, \frac{2(5)}{5(-5)^2 + 5(5)^2} \right)$ $\nabla z = \left( \frac{-10}{50 + 125}, \frac{10}{50 + 125} \right)$