Question

Разность катетов прямоугольного треугольника равна 7 см, а его гипотенуза равна 35 см. Найдите катеты.

Answer 1

$\left\{\begin{array}{l}a-b=7\\a^2+b^2=35^2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}a=b+7\\b^2+14b+49+b^2=1225\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}a=b+7\\2b^2+14b-1176=0\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}a_1=-21\ ,\ a_2=28\\b_1=-28\ ,\ b_2=21\end{array}\right$

Катеты равны 21 см  и  28 см .

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как $x$ и $y$, где $x$ - это больший катет, а $y$ - меньший катет. Из условия известно, что разность катетов равна 7 см:

$x - y = 7$

Также дана гипотенуза треугольника, равная 35 см:

$c^2 = a^2 + b^2$

Где $c$ - гипотенуза, а $a$ и $b$ - катеты. В нашем случае:

$35^2 = x^2 + y^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

x - y = 7 \\ x^2 + y^2 = 35^2 \end{cases}\] Давайте решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим \(x\) через \(y\): \[x = y + 7\] Подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение: \[(y + 7)^2 + y^2 = 35^2\] Раскроем квадрат и упростим уравнение: \[y^2 + 14y + 49 + y^2 = 1225\] \[2y^2 + 14y - 1176 = 0\] Теперь решим это квадратное уравнение. Давайте разделим все коэффициенты на 2: \[y^2 + 7y - 588 = 0\] Теперь давайте попробуем разложить коэффициент при \(y^2\): \[(y + 28)(y - 21) = 0\] Из этого получаем два возможных значения для \(y\): \(y = -28\) или \(y = 21\). Так как катет не может быть отрицательным, мы выбираем \(y = 21\). Теперь, используя \(x = y + 7\), находим \(x\): \[x = 21 + 7 = 28\] Итак, больший катет \(x\) равен 28 см, а меньший катет \(y\) равен 21 см.