Question

Решите иррациональное уравнение : √(x²-3x-10)+√(x²+3x+2)=√(x²+8x+12) С ОДЗ!!!

Answer 1

√(x²-3x-10)+√(x²+3x+2)=√(x²+8x+12)

найдем одз

D = 9 + 40 = 49   x12 = (3 +- 7)/2 = 5   -1    (x + 2)(x - 5) >= 0

x ∈ (-∞, -2] U [5, +∞)

D = 9 - 8 = 1   x12 = (-3 +- 1)/2 = -1  -2  (x + 1)(x + 2) >= 0

x ∈ (-∞, -2] U [-1, +∞)

D = 84 - 48 = 16   x12 = (-8 +- 4)/2 = - 6   -2  (x + 2)(x + 6) >= 0

x ∈ (-∞, -6] U [-2, +∞)

общее x∈(-∞,-6] U {-2} U [5,+∞)

√(x²-3x-10)+√(x²+3x+2)=√(x²+8x+12)

√ (x + 2)(x - 5) + √(x + 1)(x + 2) = √(x + 2)(x + 6)

x = -2 корень "убираем" его

√(x - 5) + √(x + 1) = √(x + 6)

x - 5 + 2√(x - 5)√(x + 1) + x + 1 = x + 6

2√ (x - 5)√(x + 1) = 10 - x  (x <= 10 x>=5)

4(x² - 4x - 5) = 100 - 20x + x²

4x² - 16x - 20 = 100 - 20x + x²

3x² + 4x - 120 = 0

D = 16 + 4*3*120 = 1456 = 16*91

x12 = (-4 +- 4√91)/6 = (-2 +- 2√91)/3 ≈ 5.7    -7

x1 =  (-2 - 2√91)/3 <= 5 нет

x2 =   (-2 + 2√91)/3  >=5 и <= 10  корень

ответ х = {  (-2 + 2√91)/3, -2}

Answer 2

Давайте начнем с решения данного иррационального уравнения. Учитывая ограничения на область допустимых значений (ОДЗ), мы должны обратить внимание на те значения x, при которых все подкоренные выражения остаются в пределах допустимых значений для квадратных корней.

Первоначально, давайте рассмотрим каждое из подкоренных выражений, чтобы определить, какие значения x допустимы:

1. Для выражения под корнем √(x² - 3x - 10) необходимо, чтобы значение выражения x² - 3x - 10 было неотрицательным (так как корень из отрицательного числа является мнимым числом): x² - 3x - 10 ≥ 0

2. Аналогично, для выражения под корнем √(x² + 3x + 2) необходимо, чтобы значение выражения x² + 3x + 2 было неотрицательным: x² + 3x + 2 ≥ 0

3. Также для выражения под корнем √(x² + 8x + 12) необходимо, чтобы значение выражения x² + 8x + 12 было неотрицательным: x² + 8x + 12 ≥ 0

Давайте решим неравенства отдельно:

1. Решение неравенства x² - 3x - 10 ≥ 0: Для этого нам нужно найти корни квадратного уравнения x² - 3x - 10 = 0. Корни этого уравнения равны x = -2 и x = 5. Теперь мы видим, что между этими корнями неравенство выполняется: -2 ≤ x ≤ 5.

2. Решение неравенства x² + 3x + 2 ≥ 0: Для этого также найдем корни квадратного уравнения x² + 3x + 2 = 0. Корни равны x = -1 и x = -2. Между этими корнями неравенство не выполняется ни при каких значениях x.

3. Решение неравенства x² + 8x + 12 ≥ 0: Это неравенство выполнено для любых значений x, так как коэффициент при x² положителен (1 > 0).

Итак, учитывая результаты анализа выше, диапазон допустимых значений для x - это -2 ≤ x ≤ 5.

Теперь мы можем проверить значения в этом диапазоне, подставив их в исходное уравнение, чтобы найти точные решения. Это может потребовать численных методов, так как уравнение содержит квадратные корни и сложные выражения.