Question

Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаютсядам 10 баллов ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

От противного: они пересекаются в точке O. Рассмотрим плоскость BOC. Точка A лежит в этой плоскости (т.к. она на прямой OB, которая лежит в этой плоскости). Точка D тоже лежит в этой плоскости (т.к. на прямой OC). Значит, A,B,C,D лежат в плоскости BOC. Противоречие (они не лежат в одной плоскости). Значит, AB и CD не пересекаются.

Answer 2

Для доказательства того, что прямые AB и CD не пересекаются, мы можем воспользоваться методом доказательства от противного. То есть, допустим, что прямые AB и CD пересекаются в точке X. Покажем, что это приводит к противоречию.

Пусть X - точка пересечения прямых AB и CD. Рассмотрим треугольники AXD и BXC. Поскольку точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, то по определению они образуют пространство, и мы имеем дело с трехмерной геометрией. Таким образом, треугольники AXD и BXC также находятся в этом трехмерном пространстве.

Возможны два случая:

1. Треугольники AXD и BXC пересекаются в общей точке X (как в предположении). В этом случае у нас есть два треугольника, оба из которых имеют общую сторону CD, и точку X, через которую проходят обе эти стороны. Но это невозможно, так как две разные прямые не могут иметь более одной общей точки. Противоречие!

2. Треугольники AXD и BXC не имеют общих точек. В этом случае, прямые AB и CD не могут пересекаться, так как они принадлежат разным плоскостям, образованным этими треугольниками. Это также приводит к противоречию.

Таким образом, в обоих случаях мы приходим к противоречию, что доказывает, что прямые AB и CD не могут пересекаться. Следовательно, они не пересекаются, что и требовалось доказать.