Question

Исследовать функцию и построить график y=x^3+3x^2-9x-10​

Answer 1

Ответ:

////////////////////////

Answer 2

Для исследования функции y = x^3 + 3x^2 - 9x - 10, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
2. Найти точки экстремума и точки перегиба.
3. Определить интервалы возрастания и убывания функции.
4. Найти значения функции на граничных точках интервалов.
5. Построить график функции.

Давайте начнем с вычисления производной функции:

y = x^3 + 3x^2 - 9x - 10

y' = 3x^2 + 6x - 9

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю (точки экстремума) и точки, в которых производная меняет знак (точки перегиба):

3x^2 + 6x - 9 = 0

Для упрощения этого уравнения, мы можем разделить все его члены на 3:

x^2 + 2x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(x + 3)(x - 1) = 0

Отсюда получаем две точки, в которых производная равна нулю:

x1 = -3 и x2 = 1

Теперь определим интервалы возрастания и убывания функции, используя производную:

Выберем три тестовые точки в каждом из интервалов:

1. x < -3
2. -3 < x < 1
3. x > 1

Подставим эти точки в производную и определим ее знак:

1. При x = -4 (меньше -3): y'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 (положительное)
2. При x = 0 (между -3 и 1): y'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 (отрицательное)
3. При x = 2 (больше 1): y'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 (положительное)

Теперь мы знаем, что функция возрастает на интервалах (-бесконечность, -3) и (1, +бесконечность), и убывает на интервале (-3, 1).

Для нахождения значений функции на граничных точках интервалов и точках экстремума, подставим их в исходную функцию:

1. Для x = -3: y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 10 = -27 + 27 + 27 - 10 = 17
2. Для x = 1: y(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 10 = 1 + 3 - 9 - 10 = -15
3. Для x = -4: y(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4) - 10 = -64 + 48 + 36 - 10 = 10

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы построить график функции. Мы знаем точки экстремума, точки перегиба и интервалы возрастания и убывания. График будет выглядеть следующим образом:

(см. вложенный график)

На графике вы увидите, что функция имеет экстремум в точке (-3, 17), экстремум в точке (1, -15), и точку перегиба в окрестности точки (0, -10). График также подтверждает наши результаты относительно интервалов возрастания и убывания функции.