Question

6. Найти tgа, если cosa = -2/3 и п 1) корень3/2 2) корень5/4 3) 1/2 4) 2корень из 3

Answer 1

$cosa=-\dfrac{2}{3}\\\\\star \ \ 1+tg^2a=\dfrac{1}{cos^2a}\ \ \Rightarrow \ \ \ tg^2a=\dfrac{1}{cos^2a}-1\ \ ,\ \ tga=\pm \sqrt{\dfrac{1}{cos^2a}-1}\ \ \star \\\\\\tga=\pm \sqrt{\dfrac{1}{4/9}-1}=\pm \sqrt{\dfrac{9}{4}-1}=\pm \sqrt{\dfrac{5}{4}}=\pm \dfrac{\sqrt5}{2}$

$1)\ \ a\in (\, 0\, ;\dfrac{\pi}{2})\ \ ili\ \ a\in (\, \pi \, ;\, \dfrac{3\pi}{2})\ \ \Rightarrow \ \ \ tga=+\dfrac{\sqrt5}{2}\\\\\\2)\ \ a\in (\, \dfrac{\pi}{2}\, ;\, \pi \, )\ \ ili\ \ a\in (\, \dfrac{3\pi}{2}\, ;\, 2\pi \, )\ \ \Rightarrow \ \ \ tga=-\dfrac{\sqrt5}{2}$

Answer 2

Для решения этой задачи, вам потребуется использовать тригонометрические тождества. В данном случае, вам пригодится следующее тождество:

$\tan^2{\alpha} = \sec^2{\alpha} - 1$

где $\sec{\alpha} = \frac{1}{\cos{\alpha}}$.

Сначала найдем $\tan{\alpha}$ для каждого из заданных значений $\cos{\alpha}$:

1. Если $\cos{\alpha} = -\frac{2}{3}$, то $\sec{\alpha} = -\frac{3}{2}$ и

$\tan^2{\alpha} = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$

Отсюда, $\tan{\alpha} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.

2. Если $\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{4}$, то $\sec{\alpha} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$ и

$\tan^2{\alpha} = \left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)^2 - 1 = \frac{80}{25} - 1 = \frac{55}{25}$

Отсюда, $\tan{\alpha} = \pm \frac{\sqrt{55}}{5}$.

3. Если $\cos{\alpha} = \frac{1}{2}$, то $\sec{\alpha} = 2$ и

$\tan^2{\alpha} = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

Отсюда, $\tan{\alpha} = \pm \sqrt{3}$.

4. Если $\cos{\alpha} = 2\sqrt{3}$, то $\sec{\alpha} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ и

$\tan^2{\alpha} = \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 - 1 = \frac{3}{36} - 1 = -\frac{33}{36}$

Это значение не имеет действительных решений, так как квадрат тангенса не может быть отрицательным.

Итак, для заданных значений $\cos{\alpha}$ тангенс угла $\alpha$ будет:

1. $\tan{\alpha} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$