Question

Омогите найти общее решение дифференциального уравнения Y’’-9y’+20y=x^2e^4x

Answer 1

$y''-9y'+20y=x^2e^{4x}\\\\a)\ \ k^2-9k+20=0\ \ ,\ \ k_1=4\ ,\ k_2=5\\\\y_{oo}=C_1e^{4x}+C_2e^{5x}\\\\b)\ \ f(x)=x^2e^{4x}\ \ ,\ \ \alpha =4=k_1\ \ \to \ \ r=1\ \ ,\ \ y_{chastn}=(Ax^2+Bx+C)\cdot x^{r}\cdot e^{4x}\\\\ y_{chastn}=(Ax^2+Bx+C)\cdot x\cdot e^{4x}=(Ax^3+Bx^2+Cx)\cdot e^{4x}\\\\ y'_{chastn}=(3Ax^2+2Bx+C)\cdot e^{4x}+(Ax^3+Bx^2+Cx)\cdot 4e^{4x}$

$y''_{chastn}=(6Ax+2B)\cdot e^{4x}+(3Ax^2+Bx+C)\cdot 4e^{4x}+\\{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(3Ax^2+2Bx+C)\cdot 4e^{4x}+(Ax^3+Bx^2+Cx)\cdot 16e^{4x}\\-------------------------------$

$y''-9y'+20y=-(3Ax^2+2Bx+C)e^{4x}+(6Ax+2B)e^{4x}=x^2e^{4x}\\\\-3Ax^2-2Bx-C+6Ax+2B=x^2\\\\x^2\ |\ -3A=1\ \ ,\qquad A=-\dfrac{1}{3}\\x\ \ |\ -2B+6A=0\ \ ,\ \ B=3A\ \ ,\ \ B=-3\cdot \dfrac{1}{3}=-1\\x^0\ |\ -C+2B=0\ \ ,\ \ C=2B=-2\\\\\\y_{chastn}=\Big(-\dfrac{1}{3}\, x^2-x^2-2x\Big)\cdot e^{4x}\\\\\\c)\ \ y_{o.n.}=C_1e^{4x}+C_2e^{5x}-\Big(\dfrac{1}{3}\, x^2+x^2+2x\Big)\cdot e^{4x}$

Answer 2

Давайте найдем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка:

Y'' - 9Y' + 20Y = x^2e^(4x)

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Y'' - 9Y' + 20Y = 0

Для этого уравнения характеристическое уравнение будет:

r^2 - 9r + 20 = 0

Это квадратное уравнение имеет два корня:

r1 = 5 r2 = 4

Следовательно, общее решение однородного уравнения будет иметь следующий вид:

Y_h(x) = c1 * e^(5x) + c2 * e^(4x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что частное решение имеет вид:

Y_p(x) = Ax^2 + Bx + C

Теперь найдем производные:

Y_p'(x) = 2Ax + B Y_p''(x) = 2A

Подставим эти производные в неоднородное уравнение:

2A - 9(2Ax + B) + 20(Ax^2 + Bx + C) = x^2e^(4x)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

2A - 18Ax - 9B + 20Ax^2 + 20Bx + 20C = x^2e^(4x)

Теперь соберем все члены с одинаковыми степенями x:

(20Ax^2 - 18Ax) + (20Bx - 9B) + (2A + 20C) = x^2e^(4x)

Теперь приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x:

20A - 18A = 0 => 2A = 0 => A = 0 20B - 9B = 0 => 11B = 0 => B = 0 2A + 20C = 1 => 2(0) + 20C = 1 => 20C = 1 => C = 1/20

Итак, мы нашли частное решение:

Y_p(x) = (1/20)

Теперь можем записать общее решение неоднородного уравнения:

Y(x) = Y_h(x) + Y_p(x)

Y(x) = c1 * e^(5x) + c2 * e^(4x) + (1/20)

Где c1 и c2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий, если они даны.