Question

Розв'язування квадратних нерівностей x^2-2x-15>0 x^2+x-12≤0

Answer 1

1)x² - 2x - 15 > 0

(x - 5)(x + 3) > 0

    +         -             +

_____₀_____₀______

        - 3          5

///////////           /////////////

Ответ : x ∈ ( - ∞ ; - 3) ∪ (5 ; + ∞)

2) x² + x - 12 ≤ 0

(x + 4)(x - 3) ≤ 0

    +                -                +

_____[-4]______[3]_____

            ////////////////

Ответ : x ∈ [ - 4 ; 3]

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

x^2-2x-15>0

D=4+60=64

√64 = 8

x=(2±8)/2 = 5 ; -3

(x-5)(x+3)>0

x∈ (-∞ ; -3) ∪ (5 ; +∞)

2)

x^2+x-12≤0

D = 1+48 = 49

√49 = 7

x= (-1±7)/2 = 3 ; -4

(x-3)(x+4)≤0

x∈ [-4 ; 3 ]

Answer 3

Для розв'язання квадратних нерівностей, спершу треба знайти їх корені (точки перетину з віссю X) і визначити інтервали, на яких нерівність виконується або не виконується. Давайте розглянемо кожну нерівність окремо.

1. Нерівність x^2 - 2x - 15 > 0: Спершу знайдемо корені квадратного рівняння x^2 - 2x - 15 = 0:

   Для знаходження коренів використаємо квадратне рівняння і метод дискримінанту:

   D = b^2 - 4ac, де a = 1, b = -2, і c = -15.

   D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64.

   Знаючи значення дискримінанту, можемо знайти корені:

   x1 = (-b + √D) / (2a) = (-(-2) + √64) / (2 * 1) = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5.

   x2 = (-b - √D) / (2a) = (-(-2) - √64) / (2 * 1) = (2 - 8) / 2 = -6 / 2 = -3.

   Таким чином, ми маємо два корені: x1 = 5 і x2 = -3.

   Тепер розглянемо інтервали між цими коренями та поза ними, щоб визначити, де нерівність виконується.

   1.1. Для x < -3: Підставляючи будь-яке значення x < -3 у вираз x^2 - 2x - 15, отримуємо додатні значення: x^2 - 2x - 15 > 0, коли x < -3.

   1.2. Для -3 < x < 5: Підставляючи будь-яке значення -3 < x < 5 у вираз x^2 - 2x - 15, отримуємо від'ємні значення: x^2 - 2x - 15 < 0, коли -3 < x < 5.

   1.3. Для x > 5: Підставляючи будь-яке значення x > 5 у вираз x^2 - 2x - 15, отримуємо додатні значення: x^2 - 2x - 15 > 0, коли x > 5.

2. Нерівність x^2 + x - 12 ≤ 0: Тут ми також спершу знайдемо корені квадратного рівняння x^2 + x - 12 = 0:

   a = 1, b = 1, і c = -12.

   D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49.

   Знаючи значення дискримінанту, можемо знайти корені:

   x1 = (-1 + √D) / (2a) = (-1 + √49) / (2 * 1) = (-1 + 7) / 2 = 6 / 2 = 3.

   x2 = (-1 - √D) / (2a) = (-1 - √49) / (2 * 1) = (-1 - 7) / 2 = -8 / 2 = -4.

   Таким чином, ми маємо два корені: x1 = 3 і x2 = -4.

   Тепер розглянемо інтервали між цими коренями та поза ними, щоб визначити, де нерівність виконується.

   2.1. Для x < -4: Підставляючи будь-яке значення x < -4 у вираз x^2 + x - 12, отримуємо від'ємні значення: x^2 + x - 12 ≤ 0, коли x < -4.

   2.2. Для -4 ≤ x < 3: Підставляючи будь-яке значення -4 ≤ x < 3 у вираз x^2 + x - 12, отримуємо невід'ємні значення: x^2 + x - 12 > 0, коли -4 ≤ x < 3.

   2.3. Для x ≥ 3: Підставляючи будь-яке значення x ≥ 3 у вираз x^2 + x - 12, отримуємо від'ємні значення: x^2 + x - 12 ≤ 0, коли x ≥ 3.

Отже, розв'язком нерівності x^2 - 2x - 15 > 0 є x < -3 або x > 5, а розв'язком нерівності x^2 + x - 12 ≤ 0 є -4 ≤ x < 3.