Question

Sqrt(x+2*sqrt(x-1))+sqrt(x-2*sqrt(x-1))=6 Решите, пожалуйста

Answer 1

$\sf \displaystyle \sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=6$

Найдем ОДЗ:

$\sf \displaystyle x-1\geq0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ x-2\sqrt{x-1}\geq0 \ \ \ (2) \\ x+2\sqrt{x-1}\geq0 \ \ \ (3)$

Условие (3) вытекает из условия (2), поэтому не будем рассматривать его отдельно.

$\sf \displaystyle (1) \ \ \ x-1\geq0 \ \ \Rightarrow \ \ x \geq 1 \\ (2) \ \ \ x-2\sqrt{x-1} \geq 0 \ \ \Rightarrow \ \ (x-2)^2 \geq 0 \ \ \Rightarrow \ \ x \in \mathbb R$

Рассмотрим подкоренные выражения. Заметим, что можно выделить полные квадраты:

$\sf \displaystyle x+2\sqrt{x-1}=(x-1)+2\sqrt{x-1}+1=\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2\\x-2\sqrt{x-1}=(x-1)-2\sqrt{x-1}+1=\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2$

Извлекая корни, перепишем уравнение в следующем виде:

$\sf \displaystyle \left|\sqrt{x-1}+1\right|+ \left|\sqrt{x-1}-1\right|=6$

Очевидно, что выражение под левым модулем не может принимать отрицательных значений.

$\sf \displaystyle \sqrt{x-1}+1+ \left|\sqrt{x-1}-1\right|=6 \\ \sqrt{x-1}+ \left|\sqrt{x-1}-1\right|=5$

Рассмотрим два случая:

$\sf \displaystyle \boxed{\sf1} \ \ \ \sqrt{x-1}-1\geq 0 \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt{x-1} \geq 1 \ \ \Rightarrow \ \ x-1\geq 1 \ \ \Rightarrow \ \ x\geq 2 \\ \\ \sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}-1=5 \\ 2\sqrt{x-1}=6 \\ \sqrt{x-1}=3 \\ x-1=9 \\ x=10 \\ \\ \boxed{\sf2} \ \ \ \sqrt{x-1}-1< 0 \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt{x-1} < 1 \ \ \Rightarrow \ \ x-1$

Уравнение решено.

Ответ:  $\sf x=10$

Answer 2

Давайте решим уравнение:

√(x + 2√(x - 1)) + √(x - 2√(x - 1)) = 6

Для упрощения уравнения, давайте введем новую переменную:

y = √(x - 1)

Теперь уравнение примет следующий вид:

√(y^2 + 2y) + √(y^2 - 2y) = 6

Теперь давайте разделим уравнение на 2 и возведем его в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(√(y^2 + 2y) + √(y^2 - 2y))^2 = 6^2

(y^2 + 2y) + 2√((y^2 + 2y)(y^2 - 2y)) + (y^2 - 2y) = 36

Теперь упростим выражение:

2y^2 + 2√(y^4 - 4y^2) = 36

Вынесем общий множитель 2:

2(y^2 + √(y^4 - 4y^2)) = 36

y^2 + √(y^4 - 4y^2) = 18

Теперь переносим одно слагаемое на другую сторону:

√(y^4 - 4y^2) = 18 - y^2

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

y^4 - 4y^2 = (18 - y^2)^2

y^4 - 4y^2 = 324 - 36y^2 + y^4

Теперь переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

0 = 324 - 36y^2

36y^2 = 324

y^2 = 9

y = ±3

Теперь мы знаем значения y, но нужно вернуться к исходной переменной x:

y = √(x - 1)

Сначала для y = 3:

3 = √(x - 1)

Возводим обе стороны в квадрат:

9 = x - 1

x = 10

Теперь для y = -3:

-3 = √(x - 1)

Возводим обе стороны в квадрат:

9 = x - 1

x = 10

Итак, у нас есть два решения:

x = 10 (для y = 3) и x = 10 (для y = -3).