Question

49 БАЛЛОВ КАЖДОМУ!!! СЕРЬЁЗНО! кому делать нечего - нате решите производную функции (x+1)^x+1 обязательно!

Answer 1

Производную данной функции определяем как сумму производных показательной функции и степенной функции, т.е.

$\left((x+1)^{x+1}\right)'=(x+1)\cdot (x+1)^{x+1-1}+(x+1)^{x+1}\ln(x+1)=\\ \\ =(x+1)(x+1)^x+(x+1)^{x+1}\ln(x+1)=(x+1)^{x+1}\Big(1+\ln (x+1)\Big)$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам найти производную функции $f(x) = (x+1)^{x+1}$.

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования степенной функции и правило цепной дифференциации.

Правило дифференцирования степенной функции гласит:

$$\frac{d}{dx}(u^v) = vu^{v-1}\frac{du}{dx} + u^v\ln(u)\frac{dv}{dx},$$

где $u$ и $v$ - функции от $x$, а $\frac{du}{dx}$ и $\frac{dv}{dx}$ - их производные по $x$.

В нашем случае:

$u = x + 1$ и $v = x + 1$.

Теперь найдем производные:

$\frac{du}{dx} = 1$ (производная $x + 1$ по $x$),

$\frac{dv}{dx} = 1$ (производная $x + 1$ по $x$).

Теперь подставим все это в формулу:

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}((x+1)^{x+1}) &= (x+1)^{x}\cdot1\cdot1 + (x+1)^{x+1}\cdot\ln(x+1)\cdot1 \\ &= (x+1)^{x} + (x+1)^{x+1}\ln(x+1). \end{align*}$$

Итак, производная функции $f(x) = (x+1)^{x+1}$ равна:

$$f'(x) = (x+1)^{x} + (x+1)^{x+1}\ln(x+1).$$

Это и есть ответ.