Question

Решите уравнение: x^5+8x^4+24x^3+35x^2+28x+12=0

Answer 1

x⁵+8x⁴+24x³+35x²+28x+12=0

Следствие из теоремы Безу гласит: "если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена".

Тогда корень данного уравнения находится среди делителей числа 12, то есть: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12.

Подставляя значения в уравнения, получим, что x=-2 - корень уравнения.

Составим схему Горнера:

   | 1 | 8 | 24 | 35 | 28 | 12 |

————————————

-2 | 1 | 6 | 12 | 11 |  6  |  0  |

Теперь можем разложить на множители исходное уравнение:

(x⁴+6x³+12x²+11x+6)(x+2)=0

Далее действия аналогичные:

Находим корень уравнения x⁴+6x³+12x²+11x+6=0 среди делителей его свободного члена: ±1; ±2; ±3; ±6.

Подставляя значения в уравнение x⁴+6x³+12x²+11x+6=0, получим, что x=-2 - корень уравнения.

Составляем схему Горнера:

   | 1 | 6 | 12 | 11 | 6 |

—————————

-2 | 1 | 4 |  4  | 3 |  0 |

Теперь получим такое уравнение:

(x³+4x²+4x+3)(x+2)²=0

Находим корень уравнения x³+4x²+4x+3=0 среди делителей его свободного члена: ±1; ±3.

Подставляя значения в уравнение x³+4x²+4x+3=0, получим, что x=-3 - корень уравнения.

Составляем схему Горнера:

   | 1 | 4 | 4 | 3 |

———————

-2 | 1 | 1 | 1 | 0 |

Получим такое уравнение:

(x²+x+1)(x+2)²(x+3)=0

x²+x+1=0  или  (x+2)²=0  или  x+3=0

    ∅                   x=-2                x=-3

Ответ: -3; -2.

Answer 2

Для решения данного уравнения с пятым степенным членом можно воспользоваться методом подбора или численными методами, так как обычно уравнения высших степеней не имеют аналитических решений. Однако, сначала давайте попробуем найти один из его корней, который может быть найден методом подбора.

Заметим, что при x = -1 уравнение упрощается:

(-1)^5 + 8*(-1)^4 + 24*(-1)^3 + 35*(-1)^2 + 28*(-1) + 12 = -1 + 8 - 24 + 35 - 28 + 12 = 2

Таким образом, x = -1 является одним из корней уравнения.

Теперь мы можем разделить данное уравнение на (x + 1), чтобы получить более низкой степени уравнение:

(x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12) / (x + 1) = 0

Это можно сделать с помощью синтетического деления или деления вручную:

x^4 + 7x^3 + 17x^2 + 18x + 12 = 0

Теперь давайте попробуем найти корни этого уравнения. К сожалению, они не выражаются в виде простых рациональных чисел, и их придется находить численными методами, например, с помощью метода Ньютона или других численных методов в программе для вычислений.

После численных вычислений можно найти остальные корни этого уравнения.