Question

​Последовательность { } определена следующим образом: 0 = 0 и+1 = 1010 + √(10102 − 1)2 + 1 , для = 0, 1, 2, …Докажите, что каждый член последовательности является целым числом и ее все члены с четными номерами делятся на 2020.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

тут написано все , если опаздал то сорян чувак

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, нам нужно разобраться с тем, как выглядит каждый член последовательности и показать, что они являются целыми числами и что члены с четными номерами делятся на 2020.

Давайте начнем с определения последовательности:

0 = 0 (это первый член) a[n+1] = 1010 + √((a[n])^2 - 1) + 1

Попробуем выразить a[n+1] через a[n]:

a[n+1] = 1010 + √((a[n])^2 - 1) + 1 = 1010 + √((a[n])^2 - 1) + √((a[n])^2 - 1) / √((a[n])^2 - 1) = 1010 + (√((a[n])^2 - 1) + (a[n])^2 - 1) / √((a[n])^2 - 1) = 1010 + ((a[n])^2 + (√((a[n])^2 - 1))^2 - 2√((a[n])^2 - 1) + 1) / √((a[n])^2 - 1) = 1010 + ((a[n])^2 - 2√((a[n])^2 - 1) + (a[n])^2) / √((a[n])^2 - 1) = 1010 + (2(a[n])^2 - 2√((a[n])^2 - 1)) / √((a[n])^2 - 1) = 1010 + 2(a[n])^2 / √((a[n])^2 - 1) - 2√((a[n])^2 - 1) / √((a[n])^2 - 1) = 2√((a[n])^2 - 1) + 1010

Теперь мы видим, что a[n+1] связано с a[n] таким образом:

a[n+1] = 2√((a[n])^2 - 1) + 1010

Давайте докажем по индукции, что все члены последовательности будут целыми числами.

1. Базовый шаг: Проверим, что a[0] = 0 является целым числом. Это верно.

2. Предположение индукции: Предположим, что a[k] - целое число для некоторого k.

3. Шаг индукции: Докажем, что a[k+1] также является целым числом:

a[k+1] = 2√((a[k])^2 - 1) + 1010

Мы уже предположили, что a[k] - целое число, поэтому (a[k])^2 - 1 - также целое число. Взятие корня из целого числа не изменяет его целостности, и умножение на 2 и прибавление 1010 также не изменяют целостности числа. Таким образом, a[k+1] - целое число.

Теперь, чтобы показать, что все члены с четными номерами делятся на 2020, давайте рассмотрим a[2k] для некоторого целого k:

a[2k] = 2√((a[2k-1])^2 - 1) + 1010

Мы знаем, что a[2k-1] - целое число (по индукции), и, следовательно, ((a[2k-1])^2 - 1) - целое число. Умножение на 2 и прибавление 1010 также дает целое число. Таким образом, a[2k] - целое число.

Теперь докажем, что a[2k] делится на 2020. Рассмотрим a[2k]:

a[2k] = 2√((a[2k-1])^2 - 1) + 1010

Теперь давайте выразим ((a[2k-1])^2 - 1) как (2020n)^2 - 1 для некоторого целого n:

((a[2k-1])^2 - 1) = (2020n)^2 - 1 = 2020^2n^2 - 1 = 2020(2020n^2 - 1)

Таким образом, ((a[2k-1])^2 - 1) является кратным 2020. Итак, мы имеем:

a[2k] = 2√((a[2k-1])^2 - 1) + 1010 = 2√(2020(2020n^2 - 1)) + 1010

Поскольку ((a[2k-1])^2 - 1) делится на 2020, и мы умножаем его на 2, то 2√((a[2k-1])^2 - 1) также делится на 2020. Добавление 1010 не изменяет кратности 2020.

Таким образом, мы доказали, что все члены последовательности являются целыми числами, и все члены с четными номерами делятся на 2020.