Question

Решите уравнение 8arctg²x+2П arctgx-П²=0

Answer 1

$8\mathrm{arctg}^2x+2\pi \mathrm{arctg}x-\pi^2=0$

Замена:

$y= \mathrm{arctg}x,\ y\in\left(-\dfrac{\pi}{2} ;\ \dfrac{\pi}{2} \right)$

Получим уравнение:

$8y^2+2\pi y-\pi^2=0$

$D_1=\pi^2-8\cdot(-\pi^2)=\pi^2+8\pi^2=9\pi^2$

$y\neq \dfrac{-\pi-3\pi}{8} =\dfrac{-4\pi}{8} =-\dfrac{\pi}{2}\notin\left(-\dfrac{\pi}{2} ;\ \dfrac{\pi}{2}\right)$

$y=\dfrac{-\pi+3\pi}{8} =\dfrac{2\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}$

Обратная замена:

$\mathrm{arctg}x=\dfrac{\pi}{4}$

$x=\mathrm{tg}\dfrac{\pi}{4}=1$

Ответ: 1

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и попробуем его решить. Уравнение имеет вид:

8arctg^2(x) + 2πarctg(x) - π^2 = 0

Для удобства, мы можем ввести замену. Пусть y = arctg(x), тогда уравнение примет следующий вид:

8y^2 + 2πy - π^2 = 0

Это квадратное уравнение относительно y. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение. По формуле для квадратных уравнений:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 8, b = 2π, и c = -π^2. Подставляя значения, получаем:

y = (-2π ± √((2π)^2 - 48(-π^2))) / (2*8)

y = (-2π ± √(4π^2 + 32π^2)) / 16

y = (-2π ± √(36π^2)) / 16

y = (-2π ± 6π) / 16

Теперь разделим оба числителя на 2π:

y = (-1 ± 3) / 8

Таким образом, у нас есть два возможных значения для y:

1. y = (3 - 1) / 8 = 2/8 = 1/4
2. y = (-3 - 1) / 8 = -4/8 = -1/2

Теперь, чтобы найти соответствующие значения x, мы возвращаемся к исходному уравнению y = arctg(x):

1. arctg(x) = 1/4
2. arctg(x) = -1/2

Чтобы найти x, возьмем тангенс обоих сторон уравнений:

1. x = tg(1/4)
2. x = tg(-1/2)

Вычислим значения тангенса для каждого уравнения:

1. x ≈ 0.24498
2. x ≈ -0.54630

Итак, у нас есть два приближенных решения:

1. x ≈ 0.24498
2. x ≈ -0.54630

Пожалуйста, учтите, что это приближенные значения, и они могут быть округлены до нужного количества знаков после запятой, в зависимости от требований вашей задачи.