Question

Решите уравнение: 2^x - a = √(4^x -a)

Answer 1

Дано уравнение 2^x - a = √(4^x - a).

Возведём обе части в квадрат.

2^(2x) - 2a*2^x + a² = 2^(2x) - a. После сокращения имеем:

2a*2^x = a² + a,

2a*2^x = a(a + 1), делим обе части на 2а.

2^x = (a + 1)/2. Отсюда находим х как степень.

x = log(2,((a + 1)/2)).

Answer 2

Для решения данного уравнения необходимо применить несколько шагов алгебраических преобразований. Вот как это можно сделать:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: (2^x - a)^2 = (4^x - a)

2. Раскроем квадрат слева: 2^(2x) - 2ax + a^2 = 4^x - a

3. Перенесем все члены с x на одну сторону, а все члены без x на другую сторону: 2^(2x) - 4^x = 2ax - a^2 + a

4. Факторизуем обе стороны уравнения: (2^x)^2 - 2 * 2^x * 4^x + (4^x)^2 = a(2x - a + 1)

5. Упростим степени двоек и четверок: 4^x - 2^(x+1)*4^x + 16^x = a(2x - a + 1)

6. Заменим 4^x на (2^x)^2: (2^x)^2 - 2^(x+1)*(2^x)^2 + (2^x)^4 = a(2x - a + 1)

7. Пусть y = 2^x, тогда уравнение можно переписать в виде: y^2 - 2y^3 + y^4 = a(2log2(y) - a + 1)

8. Теперь мы получили квадратное уравнение относительно y^2: y^4 - 2y^3 + y^2 - a(2log2(y) - a + 1) = 0

9. Решим это квадратное уравнение относительно y^2. После нахождения всех возможных значений y^2, мы можем подставить их обратно в исходное уравнение y = 2^x, чтобы найти соответствующие значения x.

В этом шаге возможно потребуется численное решение или использование компьютерных программ для точного нахождения корней.