Question

ДАЮ 30 БАЛЛОВ! Решите уравнения c объяснением: 1) для x∈ 2) 1+sin2x=2sinx+cosx

Answer 1

Решить уравнения:

Решение:

1)

$tg\Big (x - \dfrac{\pi}{4} \Big ) = -1$

$x\in \Big (-\dfrac{\pi}{4};~ \dfrac{\pi }{4 }\Big )$

$x - \dfrac{\pi}{4}=arctg (-1)$

$x - \dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi }{4}$

$x = \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}$

x = 0

2)

1 + sin 2x = 2 sin x + cos x

1 + 2 sin x · cos x -2 sin x - cos x = 0

(1 - cos x) - 2 sin x · (1 - cos x) = 0

(1 - cos x) · (1 - 2 sin x) = 0

a)

1 - cos x = 0

cos x = 1

x₁ = 2πk    (k ∈ Z)

б)

1 - 2 sin x = 0

2 sin x = 1

sin x = 0.5

x₂ = π/6 + 2πm     (m ∈Z)

x₃ = 5π/6 + 2πn     (n ∈Z)

Answer 2

Благодарю за предоставление 30 баллов! Давайте рассмотрим оба уравнения по порядку:

1. x ∈ ℝ (все действительные числа)

2. Уравнение: 1 + sin(2x) = 2sin(x) + cos(x)

Для решения этого уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества. Сначала представим sin(2x) через sin(x) и cos(x) с помощью тождества двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь мы можем заменить sin(2x) в исходном уравнении:

1 + 2sin(x)cos(x) = 2sin(x) + cos(x)

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

2sin(x)cos(x) - cos(x) = 2sin(x) - 1

Вынесем общий множитель sin(x) за скобку:

sin(x)(2cos(x) - 1) = 2sin(x) - 1

Теперь у нас есть два случая для рассмотрения:

Случай 1: sin(x) = 0

Если sin(x) = 0, то у нас есть:

2cos(x) - 1 = 2 - 1 = 1

Таким образом, получаем уравнение:

2cos(x) - 1 = 1

2cos(x) = 2

cos(x) = 1

Это уравнение имеет решение x = 0.

Случай 2: 2cos(x) - 1 = 2sin(x) - 1

2cos(x) = 2sin(x)

cos(x) = sin(x)

Теперь используем тождество tan(x) = sin(x)/cos(x):

tan(x) = 1

Это уравнение имеет решение x = π/4 + πn, где n - любое целое число.

Итак, уравнение 1 + sin(2x) = 2sin(x) + cos(x) имеет два набора решений:

1. x = 0

2. x = π/4 + πn, где n - любое целое число.