Question

Докажите, что для любого натурального n НОД (n;6n+1) =1​

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Применим алгоритм Евклида с вычитанием. Суть алгоритма заключается в последовательной замене наибольшего числа из двух данных чисел, для которых вычисляется НОД, разностью этих чисел. То есть верно:

если a≥b, то НОД(a; b) = НОД(a - b; b).

Тогда

НОД (n; 6·n+1) = НОД (n; 6·n+1-n) = НОД (n; 5·n+1) = НОД (n; 5·n+1-n) =

= НОД (n; 4·n+1) = НОД (n; 4·n+1-n) = НОД (n; 3·n+1) = НОД (n; 3·n+1-n) =

= НОД (n; 2·n+1) = НОД (n; 2·n+1-n) = НОД (n; n+1) = НОД (n; n+1-n) =

= НОД (n; 1) = 1.

Answer 2

Для доказательства, что для любого натурального числа n, НОД(n, 6n + 1) равно 1, давайте воспользуемся алгоритмом Евклида.

Пусть a = n, b = 6n + 1, и мы хотим найти НОД(a, b).

1. Рассмотрим выражение b = 6n + 1. Мы можем выразить его следующим образом: b = 6n + 1 = 6n + 6 - 5 = 6(n + 1) - 5.

2. Теперь мы видим, что b выражается как 6 умножить на (n + 1) с вычетом 5. Это означает, что b является числом, которое на 5 больше кратно 6. То есть b имеет вид 6k + 5, где k = n + 1.

3. Теперь рассмотрим НОД(a, b) с использованием алгоритма Евклида. Мы начнем вычисления, подставив b вместо a: НОД(a, b) = НОД(n, 6k + 5).

4. Теперь применим алгоритм Евклида:

   • Если a больше b, заменим a на a - b.
   • Если b больше a, заменим b на b - a.
   • Повторяем этот процесс до тех пор, пока a и b не станут равными.

Теперь давайте рассмотрим этот алгоритм для нашего случая: НОД(n, 6k + 5) = НОД(n, 6(n + 1) - 5).

Так как 6(n + 1) - 5 больше n (поскольку 6(n + 1) больше n на 6), мы заменим n на n - (6(n + 1) - 5): НОД(n, 6(n + 1) - 5) = НОД(n - (6(n + 1) - 5), 6(n + 1) - 5).

Теперь, когда мы вычли большее число из меньшего, наше новое n стало равным 5. Теперь мы имеем: НОД(5, 6(n + 1) - 5).

Так как 5 является простым числом (его нет других делителей, кроме 1 и 5), и он не делится нацело на 6(n + 1) - 5 (поскольку 5 не является делителем 6(n + 1) - 5), то НОД(5, 6(n + 1) - 5) = 1.

Итак, мы доказали, что для любого натурального n, НОД(n, 6n + 1) равно 1.