Question

30 БАЛЛОВ!!!!!!! Решить тригонометрические уравнения:a) 4 cos^2 x – 3sinx cosx - sin^2 x = 0 b) 4 sin^2 x - 12 sin x + 5 = 0​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Давайте решим данные тригонометрические уравнения:

a) 4 cos^2 x - 3 sinx cosx - sin^2 x = 0:

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими идентичностями. Первая идентичность, которую мы можем использовать, это:

cos^2 x + sin^2 x = 1.

Теперь мы можем заменить cos^2 x + sin^2 x в уравнении:

4(cos^2 x + sin^2 x) - 3 sinx cosx - sin^2 x = 0.

4 - 3 sinx cosx - sin^2 x = 0.

Теперь давайте воспользуемся тригонометрической идентичностью для произведения sinx cosx:

2 sinx cosx = sin2x.

Теперь заменим sin2x в уравнении:

4 - 3(sin2x) - sin^2 x = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sinx:

-3sin2x - sin^2 x + 4 = 0.

Умножим уравнение на -1, чтобы упростить его:

3sin2x + sin^2 x - 4 = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение как квадратное уравнение относительно sinx. Обозначим sinx как t:

3t^2 + t - 4 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение:

(3t - 4)(t + 1) = 0.

Таким образом, у нас есть два возможных значения t:

1. 3t - 4 = 0: 3t = 4, t = 4/3.

2. t + 1 = 0: t = -1.

Теперь мы должны вернуться к sinx. Первое уравнение:

sinx = 4/3.

Однако sinx не может быть больше 1 по определению, поэтому это уравнение не имеет решений.

Второе уравнение:

sinx = -1.

Теперь мы знаем, что sinx = -1, что означает, что x находится в четвертом квадранте, и sinx равен -1 в угле -90 градусов или -π/2 радиан. Таким образом, решение этого уравнения:

x = -π/2.

b) 4 sin^2 x - 12 sin x + 5 = 0:

Это квадратное уравнение относительно sinx. Давайте попробуем решить его:

4 sin^2 x - 12 sin x + 5 = 0.

Для упрощения давайте введем замену, обозначив sinx как t:

4t^2 - 12t + 5 = 0.

Теперь мы можем попробовать решить это квадратное уравнение:

(4t - 5)(t - 1) = 0.

Таким образом, у нас есть два возможных значения t:

1. 4t - 5 = 0: 4t = 5, t = 5/4.

2. t - 1 = 0: t = 1.

Теперь мы должны вернуться к sinx. Первое уравнение:

sinx = 5/4.

Однако sinx не может быть больше 1 по определению, поэтому это уравнение не имеет решений.

Второе уравнение:

sinx = 1.

Теперь мы знаем, что sinx = 1, что означает, что x находится в первом квадранте, и sinx равен 1 в угле 90 градусов или π/2 радиан. Таким образом, решение этого уравнения:

x = π/2.

Итак, у нас есть два решения:

a) x = -π/2.

b) x = π/2.