Question

Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f(x)=-2x/x^2+4

Answer 1

Ответ:

Наибольшее и наименьшее значение

функции.

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции f(x) = -2x / (x^2 + 4), давайте сначала определим область допустимых значений x, а затем проанализируем функцию в этой области.

1. Область допустимых значений (определение домена): Знаменатель функции (x^2 + 4) всегда больше или равен 4, так как x^2 не может быть отрицательным, и при любых значениях x добавление 4 к x^2 не изменит этот факт. Поэтому знаменатель никогда не равен нулю, и функция определена для всех реальных чисел x.

2. Найдем производную функции f(x) и определим ее критические точки: f(x) = -2x / (x^2 + 4)

   f'(x) = (-2)(x^2 + 4) - (-2x)(2x) / (x^2 + 4)^2 = (-2x^2 - 8 + 4x^2) / (x^2 + 4)^2 = (2x^2 - 8) / (x^2 + 4)^2

   Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю: 2x^2 - 8 = 0 2x^2 = 8 x^2 = 4 x = ±2

3. Определим значение функции f(x) в найденных критических точках и на бесконечности:

   a. При x = 2: f(2) = -2(2) / (2^2 + 4) = -4 / 8 = -1/2

   b. При x = -2: f(-2) = -2(-2) / (-2^2 + 4) = 4 / 8 = 1/2

   c. При x стремящемся к бесконечности (предел): lim (x -> ±∞) f(x) = lim (x -> ±∞) (-2x / (x^2 + 4)) = 0

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) равно -1/2 и достигается при x = 2, а наибольшее значение функции равно 1/2 и достигается при x = -2.