Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО Сформулируйте и докажите теорему Виета Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0? пожалуйста помогите​

Answer 1

Согласно теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна отрицательному коэффициенту b:

x1 + x2 = -b

Произведение корней квадратного уравнения в этой же теореме равно свободному коэффициенту с:

х1 × х2 = с

Доказательство:

Возьмём следующее уравнение:

х² + 6х - 7 = 0

Сначала решим его через дискриминант:

D = b² - 4ac = 36-4×(-7) = 36+28 = 64

x1,2 = (-b±√D)÷2a = (-6±8)÷2

x1 = (-6+8)÷2 = 1

x2 = (-6-8)÷2 = -7

Теперь решим это же уравнение через теорему Виета:

Мы знаем, что:

х1 + х2 = -b

x1 × x2 = c

Осталось лишь подобрать такие корни уравнения, которые бы подходили под эти два равенства. Путём нехитрых вычислений, находим, что этими корнями являются числа -7 и 1:

-7 + 1 = -6 = -b

-7×1 = -7 = c

Ответы сходятся, значит наши рассуждения верны.

Это работает со всеми квадратными уравнениями, в которых коэффициент а = 1.

Теорема доказана.

Answer 2

Теорема Виета - это набор формул, связанных с коэффициентами квадратного уравнения ax²+bx+c=0 и его корнями. Согласно теореме Виета, сумма и произведение корней квадратного уравнения могут быть выражены через коэффициенты a, b и c следующим образом:

1. Пусть α и β - корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0.

2. Тогда сумма корней равна: α + β = -b/a

3. Произведение корней равно: α * β = c/a

Теперь докажем эти формулы.

Доказательство:

1. Рассмотрим квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0

2. Для нахождения корней этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

3. Сумма корней: α + β = [(-b + √(b² - 4ac)) / (2a)] + [(-b - √(b² - 4ac)) / (2a)]

   При сокращении общего знаменателя получаем: α + β = (-b + √(b² - 4ac) - b - √(b² - 4ac)) / (2a)

   Упрощаем выражение: α + β = (-2b) / (2a) = -b/a

4. Произведение корней: α * β = [(-b + √(b² - 4ac)) / (2a)] * [(-b - √(b² - 4ac)) / (2a)]

   При умножении получаем: α * β = [(-b)² - (√(b² - 4ac))²] / (4a²)

   Пользуясь тем, что a ≠ 0, мы можем записать это как: α * β = (b² - (b² - 4ac)) / (4a²)

   Упрощаем выражение: α * β = (4ac) / (4a²) = c/a

Таким образом, сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a, что соответствует формулам Виета.