Question

Найти наибольший отрицательный корень уравнения: √3*sin(x/6)+cos(x/6)=√2

Answer 1

Ответ:

$\sqrt3sin\dfrac{x}{6}+cos\dfrac{x}{6}=\sqrt2\ |:2\\\\\\\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot sin\dfrac{x}{6}+\dfrac{1}{2}\cdot cos\dfrac{x}{6}=\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\\\cos\dfrac{\pi }{6}\cdot sin\dfrac{x}{6}+sin\dfrac{\pi}{6}\cdot cos\dfrac{x}{6}=\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\\\sin\Big(\dfrac{x}{6}+\dfrac{\pi}{6}\Big)=\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\\\\dfrac{x}{6}+\dfrac{\pi}{6}=(-1)^{n}\cdot \dfrac{\pi}{4}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\\dfrac{x}{6}=(-1)^{n}\cdot \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}+\pi n\ ,\ n\in Z$

$x=(-1)^{n}\cdot \dfrac{3\pi}{2}-\pi +6\pi n\ ,\ n\in Z$

$x=-\dfrac{17\pi }{2}$  -  наибольший отрицательный корень уравнения

Answer 2

Для нахождения наибольшего отрицательного корня уравнения √3*sin(x/6) + cos(x/6) = √2, мы можем следовать следующим шагам:

1. Выразим sin(x/6) и cos(x/6) через одну и ту же функцию тригонометрии, например, через sin(x/6).

2. Решим полученное уравнение для sin(x/6).

3. Найдем значения x, соответствующие отрицательным корням sin(x/6).

4. Проверим, что найденные значения удовлетворяют исходному уравнению.

Начнем с шага 1:

√3*sin(x/6) + cos(x/6) = √2

Перепишем cos(x/6) через sin(x/6) с использованием тригонометрической идентичности:

√3*sin(x/6) + √(1 - sin^2(x/6)) = √2

Теперь у нас есть уравнение только с sin(x/6):

√3*sin(x/6) + √(1 - sin^2(x/6)) = √2

Теперь проведем квадратное уравнение, чтобы избавиться от корней:

3*sin^2(x/6) + (1 - sin^2(x/6)) = 2

Решим его:

2*sin^2(x/6) + 1 - sin^2(x/6) = 2

sin^2(x/6) = 1

sin(x/6) = ±1

Теперь найдем значения x/6, соответствующие этим sin(x/6):

1. sin(x/6) = 1 x/6 = π/2 + 2πk, где k - целое число.

2. sin(x/6) = -1 x/6 = -π/2 + 2πk, где k - целое число.

Теперь умножим обе стороны на 6, чтобы найти значения x:

1. x = 3π + 12πk

2. x = -3π + 12πk

Теперь мы имеем бесконечное множество решений вида x = 3π + 12πk и x = -3π + 12πk, где k - целое число. Чтобы найти наибольший отрицательный корень, нам нужно выбрать наименьшее значение k, которое делает x отрицательным:

x = -3π + 12π*(-1) = -3π - 12π = -15π

Итак, наибольший отрицательный корень уравнения √3*sin(x/6) + cos(x/6) = √2 равен -15π.