Question

Решите уравнение 3sin2(x)+2sin(x)cos(x)−cos2(x)=23sin2(x)+2sin(x)cos(x)−cos2(x)=2.

Answer 1

3sin²x + 2sin x cos x - cos²x = 2

3sin²x + 2sin x cos x - cos²x = 2sin²x + 2cos²x

sin²x + 2sin x cos x - 3cos²x = 0 | ÷ cos²x; cos x ≠ 0

tg²x + 2tg x - 3 = 0

tg x = t

t² + 2t - 3 = 0

D = 4 + 12 = 16 = 4²

t = (-2 ± 4) ÷ 2

t₁ = -3; t₂ = 1

tg x = -3; x = arctg(-3) + πk, k ∈ Z

или

tg x = 1; x = π/4 + πn, n ∈ Z

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и попробуем его решить:

3sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - cos^2(x) = 2

Теперь давайте воспользуемся тригонометрическими идентичностями, чтобы упростить уравнение. Воспользуемся идентичностью sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы избавиться от cos^2(x):

3(1 - cos^2(x)) + 2sin(x)cos(x) - cos^2(x) = 2

Теперь распределите 3 по обоим слагаемым:

3 - 3cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) - cos^2(x) = 2

Перенесите все слагаемые на одну сторону уравнения и упростите:

3 - 3cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) - cos^2(x) - 2 = 0

Теперь объедините похожие слагаемые:

-3cos^2(x) - cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) + 3 - 2 = 0

-4cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) + 1 = 0

Теперь давайте рассмотрим выражение 2sin(x)cos(x). Это можно представить как sin(2x). Таким образом, у нас есть:

-4cos^2(x) + sin(2x) + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Давайте решим его. Представим cos^2(x) как (1 - sin^2(x)):

-4(1 - sin^2(x)) + sin(2x) + 1 = 0

-4 + 4sin^2(x) + sin(2x) + 1 = 0

4sin^2(x) + sin(2x) - 3 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение для sin(x). Давайте заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x):

4sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 3 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его с помощью квадратного уравнения:

Для удобства введем новую переменную, например, t = sin(x), тогда у нас будет:

4t^2 + 2t - 3 = 0

Теперь решим это уравнение для t с помощью квадратного уравнения. Вы получите два значения t:

t1 = 1/2 t2 = -3/2

Теперь вернемся к sin(x). Мы знаем, что t = sin(x), поэтому:

1. t1 = 1/2: sin(x) = 1/2 Это уравнение имеет два решения на интервале [0, 2π]: x1 = π/6 и x2 = 5π/6.

2. t2 = -3/2: Это значение находится вне диапазона возможных значений для sin(x) (-1 ≤ sin(x) ≤ 1), поэтому нет решений в этом случае.

Итак, уравнение 3sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - cos^2(x) = 2 имеет два решения: x1 = π/6 x2 = 5π/6