Question

1) Даны вершины треугольника А(10,6),В(-1,-2),С(-4,7). Найти: Длины и уравнения сторон АВ,ВС и CD ;Внутренний угол при вершине А;Вычислить площадь и периметр треугольника ABC ;Выполнить чертёж.2) Даны вершины четырехугольника А(1,-2),В(1,4), С(-4,1), D(-5,-6). Найти его периметр.Заранее благодарю .

Answer 1

1. Даны вершины треугольника А(10,6),В(-1,-2),С(-4,7).

1) Расчет длин сторон    

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √185 ≈  13,6014705.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √90  ≈  9,486833.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √197 ≈  14,035669.

Уравнения сторон        

АВ : Х-Ха     =      У-Уа

Хв-Ха               Ув-Уа

у = 0,727272727 х - 1,272727273,

-8Х + 11У + 14 = 0.

ВС : Х-Хв    =     У-Ув    

Хс-Хв   Ус-Ув  

у = -3х - 5,

3Х + 1У + 5 = 0.

АС : Х-Ха = У-Уа

Хс-Ха               Ус-Уа  

у = -0,071428571 х + 6,714285714,

1Х + 14У - 94 = 0.

2) Вектор АВ = В(1; 4) - А(1;-2) = (0; 6), модуль равен 6.

   Вектор АС = С(-4; 1) - А(1;-2) = (-5; 3), модуль равен √(25+9) =√34.

cos A = (0*(-5)+6*3)/(6*√34) = 18/(6√34) ≈ 0,764775345  

Угол А = 0,700103751 радиан или 40,11299017 градусов.

3) Площадь треугольника ABC:      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 61,5

.

Периметр Р =  37,12397

.

2. Даны вершины четырехугольника А(1,-2),В(1,4), С(-4,1), D(-5,-6).

 Расчет длин сторон    

АВ  = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) =  √36 = 6.

BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √34 ≈  5,830952.

СД = √((Хд-Хс)²+(Уд-Ус)²) =  √50 ≈  7,071068.

AД = √((Хд-Хa)²+(Уд-Уa)²) = √52 ≈   7,2111026.

Периметр  Р = 26,113122.

Answer 2

1) Для треугольника ABC:

a) Длины сторон и уравнения прямых:

• Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(10 - (-1))^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{11^2 + 8^2} = \sqrt{185}$

  Уравнение прямой AB: $y = \frac{8}{11}x + \frac{26}{11}$.

• Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (-2 - 7)^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

  Уравнение прямой BC: $y = -3x + 9$.

• Длина стороны CA: $CA = \sqrt{(-4 - 10)^2 + (7 - 6)^2} = \sqrt{14^2 + 1^2} = \sqrt{197}$

  Уравнение прямой CA: $x + 14y = 146$.

b) Внутренний угол при вершине А:

Используя закон косинусов: $\cos(A) = \frac{(-3\sqrt{10})^2 + (\sqrt{185})^2 - (\sqrt{197})^2}{2 \cdot (-3\sqrt{10}) \cdot \sqrt{185}}$ $\cos(A) = \frac{90}{-6\sqrt{185}} = -\frac{15}{\sqrt{185}}$ $A = \cos^{-1}\left(-\frac{15}{\sqrt{185}}\right) \approx 99.77^\circ$

c) Площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника можно найти используя формулу Герона: $s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{\sqrt{185} + 3\sqrt{10} + \sqrt{197}}{2}$

Площадь: $\text{Площадь} = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - CA)}$

d) Периметр треугольника ABC:

$\text{Периметр} = AB + BC + CA$