Question

6. 2. Постройте график функции у = √x. Найдите: 7. а) наименьшее и наибольшее значения этой функции на отрезке [4; 7]; 8. б) координаты точки пересечения графика этой функции с прямой х - 2у = 0.

Answer 1

Ответ:

Построить график по точкам х=0 у=0 х=1 у=1 х=4 у=2

ф-я возрастающая на всей области определения и значит наименьшее значение на отрезке √4=2 наибольшее √7

x-2y=0 ⇒y=x/2 √x=x/2 ⇒ x-2√x=√x (√x-2) = 0

x=0 y=0 и x=4y=4/2=2 координаты точек пересечения

Answer 2

Давайте начнем с построения графика функции у = √x на отрезке [4; 7]. Для этого мы можем построить несколько значений функции и затем соединить их линией. Вот таблица значений и график:

x	√x
4	2
5	√5 ≈ 2.236
6	√6 ≈ 2.449
7	√7 ≈ 2.646

Теперь мы можем построить график, используя эти значения. График будет начинаться в точке (4, 2) и постепенно подниматься, приближаясь к точке (7, √7).

Теперь перейдем к нахождению наименьшего и наибольшего значений этой функции на отрезке [4; 7]. Для этого нам нужно вычислить значения функции при граничных точках отрезка и во всех критических точках внутри отрезка.

a) Наименьшее и наибольшее значения:

1. При x = 4: y = √4 = 2.

2. При x = 7: y = √7 ≈ 2.646.

3. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю. У нас есть у = √x, поэтому y' = (1/2) * x^(-1/2).

   Установим y' равным нулю и решим уравнение:

   (1/2) * x^(-1/2) = 0 x^(-1/2) = 0

   Это уравнение не имеет решений, так как x^(-1/2) не может быть равным нулю.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [4; 7] равно 2 (достигается при x = 4), а наибольшее значение равно примерно 2.646 (достигается при x = 7).

b) Теперь найдем координаты точки пересечения графика этой функции с прямой x - 2y = 0. Для этого подставим у = √x в уравнение прямой и решим его:

x - 2√x = 0

Переносим 2√x на другую сторону:

x = 2√x

Возводим обе стороны в квадрат:

x^2 = 4x

Переносим все в одну сторону и получаем квадратное уравнение:

x^2 - 4x = 0

Факторизуем его:

x(x - 4) = 0

Таким образом, у нас есть два решения: x = 0 и x = 4. Поскольку x не может быть отрицательным для данной функции, мы берем x = 4. Теперь найдем соответствующее значение y:

y = √x = √4 = 2

Таким образом, точка пересечения графика функции y = √x с прямой x - 2y = 0 имеет координаты (4, 2).