Question

Найдите производные 1) y=(x+5)(x^5-1+3x) 2) f(x)=-3ctg4x

Answer 1

Ответ:

$6x^{5}+25x^{4}+6x+14; \quad \frac{12}{sin^{2}(4x)};$

Объяснение:

$1) \quad y=(x+5)(x^{5}-1+3x);$

$y'=((x+5)(x^{5}+3x-1))';$

$y'=(x+5)' \cdot (x^{5}+3x-1)+(x+5) \cdot (x^{5}+3x-1)';$

$y'=(x'+5') \cdot (x^{5}+3x-1)+(x+5) \cdot ((x^{5})'+(3x)'-1');$

$y'=(1+0) \cdot (x^{5}+3x-1)+(x+5) \cdot (5 \cdot x^{5-1}+3 \cdot x'-0);$

$y'=(x^{5}+3x-1)+(x+5) \cdot (5 \cdot x^{4}+3 \cdot 1);$

$y'=x^{5}+3x-1+(x+5) \cdot (5x^{4}+3);$

$y'=x^{5}+3x-1+5x^{5}+3x+25x^{4}+15;$

$y'=6x^{5}+25x^{4}+6x+14;$

$2) \quad f(x)=-3ctg4x;$

$(f(x))'=(-3ctg4x)';$

$(f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x);$

$f'(x)=-3 \cdot (ctg4x)';$

$f'(x)=-3 \cdot ctg'(4x) \cdot (4x)';$

$f'(x)=-3 \cdot (-\frac{1}{sin^{2}(4x)}) \cdot 4;$

$f'(x)=3 \cdot \frac{1}{sin^{2}(4x)} \cdot 4;$

$f'(x)=\frac{12}{sin^{2}(4x)};$

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций:

1. y = (x + 5)(x^5 - 1 + 3x)

Сначала умножим два множителя, используя правило производной произведения (производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведению первой функции на производную второй функции):

y = (x + 5)(x^5 - 1 + 3x) y' = (x + 5)'(x^5 - 1 + 3x) + (x + 5)(x^5 - 1 + 3x)'

Теперь найдем производные каждого из множителей:

(x + 5)' = 1 (производная константы равна нулю)

(x^5 - 1 + 3x)' = (x^5)' - (1)' + (3x)' (x^5)' = 5x^4 (производная x^5) (1)' = 0 (производная константы равна нулю) (3x)' = 3 (производная 3x)

Теперь подставим эти производные обратно в выражение:

y' = 1(x^5 - 1 + 3x) + (x + 5)(5x^4 - 0 + 3) y' = x^5 - 1 + 3x + 5x^5 + 15x y' = 6x^5 + 18x + 3x^2 - 1

Итак, производная функции y равна: y' = 6x^5 + 3x^2 + 18x - 1

2. f(x) = -3ctg(4x)

Для нахождения производной функции f(x) = -3ctg(4x) мы используем правило производной функции ctg(ax), которое гласит, что производная ctg(ax) равна -a * csc^2(ax), где csc(ax) - это косеканс функции ax.

f(x) = -3ctg(4x)

f'(x) = -3 * (-4) * csc^2(4x) f'(x) = 12 * csc^2(4x)

Итак, производная функции f(x) равна: f'(x) = 12 * csc^2(4x)