Question

Сумма двух чисел равна 1. Найдите наибольшее возможное значение произведения этих чисел.

Answer 1

пусть одно число х, второе 1 - х

f(x) = x(1 - x) = x - x²

экстремум , когда производная = 0

f'(x) = 1 - 2x = 0

x = 1/2

При x < 1/2  производная > нуля

При x > 1/2  производная < нуля ⇒ в точке x = 1/2 функция f(x) = x * (1 - x) принимает наибольшее значение

x1 = 1/2

x2 = 1 - 1/2 = 1/2

x1*x2 = 1/2*1/2 = 1/4 = 0.25

Answer 2

Для нахождения наибольшего возможного значения произведения двух чисел, сумма которых равна 1, мы можем использовать метод оптимизации. Давайте обозначим эти два числа как x и y, где x + y = 1.

Теперь, чтобы найти наибольшее возможное значение произведения xy, мы можем использовать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим чисел. Это неравенство известно как неравенство о средних и звучит следующим образом:

Среднее арифметическое (x + y) / 2 больше или равно среднему геометрическому sqrt(xy):

(x + y) / 2 >= sqrt(xy)

Теперь подставим значение x + y, которое равно 1:

(1) / 2 >= sqrt(xy)

Упростим:

1/2 >= sqrt(xy)

Теперь давайте найдем максимальное значение xy, удовлетворяющее этому неравенству:

1/2 >= sqrt(xy)

Чтобы найти максимальное значение xy, мы хотим, чтобы sqrt(xy) было как можно меньше. Для этого мы должны выбрать максимальное значение sqrt(xy), которое все еще удовлетворяет неравенству. Максимальное значение sqrt(xy), которое удовлетворяет этому неравенству, достигается, когда sqrt(xy) равно половине (1/2).

Таким образом, наибольшее возможное значение произведения xy при условии, что x + y = 1, равно (1/2) * (1/2) = 1/4.

Итак, наибольшее возможное значение произведения равно 1/4.