Question

Сумма квадрата полусуммы двух чисел и квадрата полуразности этих же чисел равна 50. Разность квадрата полусуммы этих же чисел и квадрата полуразности этих чисел равна 48. Определите чему равно: 1) среднее арифметическое этих чисел; 2) среднее геометрическое этих чисел; 3) сумма чисел, обратным к этим числам. Ответы округлите до сотых.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

{ ((a+b)/2)^2 + ((a-b)/2)^2 = 50

{ ((a+b)/2)^2 - ((a-b)/2)^2 = 48

Сделаем замену

((a+b)/2)^2 = x; ((a-b)/2)^2 = y

{ x + y = 50

{ x - y = 48

Складываем уравнения

2x = 98; x = ((a+b)/2)^2 = 49; (a+b)/2 = √49 = 7

y = ((a-b)/2)^2 = 50 - x = 50 - 49 = 1; (a-b)/2 = √1 = 1

Получили систему

{ (a + b)/2 = 7

{ (a - b)/2 = 1

Решение этой системы

a = 8; b = 6.

1) Среднее арифметическое (8+6)/2 = 7

2) Среднее геометрическое √(8*6) = √48 ≈ 6,93

3) Сумма обратных 1/8 + 1/6 = 0,125 + 0,167 = 0,292 ≈ 0,29

Answer 2

Обозначим числа как $x$ и $y$. Тогда по условию задачи у нас есть система уравнений:

\frac{(x+y)^2}{4}+\frac{(x-y)^2}{4}=50 \\ \frac{(x+y)^2}{4}-\frac{(x-y)^2}{4}=48 \\ \end{cases}$$ Решая эту систему уравнений, мы получим: $$\begin{cases} x^2+y^2=32 \\ xy=18 \\ \end{cases}$$ Теперь мы можем ответить на поставленные вопросы: 1) Среднее арифметическое этих чисел равно $\frac{x+y}{2}$. Мы можем найти его, подставив $xy=18$ в выражение $\frac{x+y}{2}=\frac{x^2+y^2}{2(x+y)}$: $$\frac{x+y}{2}=\frac{x^2+y^2}{2(x+y)}=\frac{32+2\cdot 18}{2\cdot (x+y)}=\frac{68}{2(x+y)}=\frac{17}{x+y}$$ Заметим, что $x+y$ мы можем найти из системы уравнений выше, и получим: $$\frac{x+y}{2}=\frac{17}{x+y}\approx 1.79$$ 2) Среднее геометрическое этих чисел равно $\sqrt{xy}$. Подставляя $xy=18$, получим: $$\sqrt{xy}=\sqrt{18}\approx 4.24$$ 3) Чтобы найти сумму чисел, обратных $x$ и $y$, нам нужно найти $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$. Мы можем найти ее, подставив $xy=18$ в выражение $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$$ Теперь мы можем найти сумму обратных чисел: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$$ Ответы: 1) Среднее арифметическое этих чисел равно $\frac{x+y}{2}\approx 1.79$ 2) Среднее геометрическое этих чисел равно $\sqrt{xy}\approx 4.24$ 3) Сумма чисел, обратным к этим числам, равна $9$.