Question

Помогите пожалуйста!!! Вычислите площадь фигуры ограниченной параболой у=-х²+4х-3, касательной к параболе в точке М(0;-3) и прямой х=2

Answer 1

Ответ:

$\frac{8}{3}$

Объяснение:

Площадь указанной фигуры находится по формуле Ньютона-Лейбница с непосредственным участием первообразных.

Касательная и парабола касаются в точке (0; -3), значит, касательная имеет вид y = 4x-3 (смотри чертеж).

Для данных кривых фигура имеет три общие точки: точка касания (0; -3), точка пересечения параболы и х=2 - точка (2; 9) и точка пересечения прямой y=4x-3 и прямой х=2 - точка (2; 5).

Имеем

$S=\int\limits^2_0 {(x^{2}+4x-3)-(4x-3) } \, dx =\int\limits^2_0 {x^{2}+4x-3-4x+3 } \, dx =$

$=\int\limits^2_0 {x^{2} } \, dx =\frac{x^{3} }{3} |_{0} ^{2} =F(2)-F(0)=\frac{2^{3} }{3}-\frac{0^{3} }{3} =\frac{8}{3}$.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры ограниченной параболой у = -х² + 4х - 3, касательной к параболе в точке М(0;-3), и прямой х = 2, вам нужно найти точки пересечения этой параболы с прямой х = 2 и затем вычислить интеграл параболы между этими точками.

1. Найдем точки пересечения параболы и прямой х = 2, подставив значение х = 2 в уравнение параболы: у = -х² + 4х - 3 у = -(2)² + 4(2) - 3 у = -4 + 8 - 3 у = 1

Точка пересечения: (2, 1).

2. Теперь мы знаем, что парабола пересекает прямую х = 2 в точке (2, 1) и точке М(0, -3). Для вычисления площади между этими точками, вычислим определенный интеграл параболы:

   S = ∫[0, 2] (-х² + 4х - 3) dx

3. Рассчитаем этот интеграл: S = [- (x³/3) + 2x² - 3x] |[0, 2] S = - (2³/3) + 2(2)² - 3(2) - (- (0³/3) + 2(0)² - 3(0)) S = -8/3 + 8 - 6 - 0 S = 2/3

Итак, площадь фигуры ограниченной параболой у = -х² + 4х - 3, касательной к параболе в точке М(0;-3) и прямой х=2, равна 2/3 квадратных единиц.