Question

Розв’язати нерівність:|х| ∙ ( x^2 + 3x – 10) < 0.​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$|x|(x^2+3x-10)$

Учитывая, что x не равен 0, получим:

$x\in(-5;\;0)\cup(0;\;2)$

Неравенство решено!

Answer 2

Щоб розв'язати цю нерівність, спершу розглянемо функцію $f(x) = |x| \cdot (x^2 + 3x - 10)$.

Розділимо область значень $x$ на інтервали відповідно до точок, де $f(x)$ може змінити знак:

1. Коли $x < 0$, $|x| = -x$, і функція $f(x)$ стає $f(x) = -x \cdot (x^2 + 3x - 10)$.
2. Коли $x \geq 0$, $|x| = x$, і функція $f(x)$ залишається $f(x) = x \cdot (x^2 + 3x - 10)$.

Розглянемо кожний з цих двох випадків окремо:

1. Для $x < 0$, маємо $f(x) = -x \cdot (x^2 + 3x - 10)$. Порівняємо кожний множник окремо:
   • Якщо $x < 0$, то $|x| = -x$ і $x^2 + 3x - 10$ менше нуля, оскільки корені рівняння $x^2 + 3x - 10 = 0$ є додатніми.
   • Крім того, якщо $x < 0$, то $-x$ також менше нуля.

Отже, якщо $x < 0$, обидва множники нерівності від'ємні, і добуток від'ємний. Тобто, для $x < 0$ нерівність виконується.

2. Для $x \geq 0$, маємо $f(x) = x \cdot (x^2 + 3x - 10)$. Порівняємо кожний множник окремо:
   • Якщо $x \geq 0$, то $|x| = x$, і $x^2 + 3x - 10$ може бути рівним нулю або більшим нуля (оскільки корені рівняння $x^2 + 3x - 10 = 0$ є додатніми).
   • Крім того, якщо $x \geq 0$, то $x$ також більше або рівний нулю.

Отже, якщо $x \geq 0$, обидва множники нерівності додатні, і добуток додатній. Тобто, для $x \geq 0$ нерівність також виконується.

Отже, нерівність $|x| \cdot (x^2 + 3x - 10) < 0$ виконується для $x < 0$ і $x \geq 0$, тобто для всього діапазону $x$:

$x < 0 \text{ або } x \geq 0$

Це означає, що рішеннями нерівності є всі дійсні числа $x$.