Question

Log6 ( x - 2) + log6(x – 11) = 2 прошу помочь

Answer 1

Ответ:

$x=14.$

Объяснение:

㏒₆(x-2)+㏒₆(x-11)=2;

ОДЗ:$\left \{ {{x-2>0} \atop {x-11>0}} \right.$ ⇒$\left \{ {{x>2} \atop {x>11}} \right.$⇒x∈(11;+∞);

㏒₆((x-2)(x-11))=2;

㏒₆(x²-11x-2x+22)=2;

x²-11x-2x+22=6²;

x²-13x+22=36;

x²-13x+22-36=0;

D=(-13)²-4*1*(22-36)=169-4*(-14)=169+56=225=15²;

$x_{1} =\dfrac{13-15}{2} =-\dfrac{2}{2} =-1$⇒не входит в ОДЗ;

$x_{2} =\dfrac{13+15}{2} =\dfrac{28}{2} =14.$

Answer 2

Для решения уравнения с логарифмами с разными основаниями, нам нужно привести их к общему основанию. В данном случае мы приведем логарифмы к натуральному основанию (ln), так как ln(x) / ln(a) = log_a(x).

Итак, у нас есть уравнение:

ln(x - 2) / ln(6) + ln(x - 11) / ln(6) = 2

Теперь используем свойство логарифмов, что ln(a) + ln(b) = ln(ab):

ln[(x - 2)(x - 11)] / ln(6) = 2

Теперь избавимся от натурального логарифма, умножив обе части уравнения на ln(6):

ln[(x - 2)(x - 11)] = 2 * ln(6)

Теперь применяем экспоненциальную функцию e^x к обеим сторонам уравнения:

(x - 2)(x - 11) = e^(2 * ln(6))

Так как e^(2 * ln(6)) = e^(ln(36)) = 36:

(x - 2)(x - 11) = 36

Раскрываем скобки:

x^2 - 11x - 2x + 22 = 36

x^2 - 13x + 22 - 36 = 0

x^2 - 13x - 14 = 0

Факторизуем квадратное уравнение:

(x - 14)(x + 1) = 0

Итак, у нас есть два возможных значения x:

1. x - 14 = 0 => x = 14
2. x + 1 = 0 => x = -1

Проверим оба значения, подставив их в исходное уравнение:

1. При x = 14:

ln(14 - 2) / ln(6) + ln(14 - 11) / ln(6) = 2

ln(12) / ln(6) + ln(3) / ln(6) = 2

2 / ln(6) + 1 / ln(6) ≠ 2 (не верно)

2. При x = -1:

ln(-1 - 2) / ln(6) + ln(-1 - 11) / ln(6) = 2

ln(-3) / ln(6) + ln(-12) / ln(6) ≠ 2 (не верно)

Итак, уравнение не имеет действительных корней.