Question

F(x) = 5x² - 3x расспишите по 8 пунктам (D(f), E(f), вершина, ось симметрии, нули, знакопостоянтсво, монотонности, пересечение с ОУ), пж срочно​

Answer 1

$f(x) = 5x^2 - 3x$  - квадратичная функция, графиком является парабола.

a = 5, a > 0, ветви параболы направлены вверх.

1) Для начала найдём область определения функции. Никаких дополнительных ограничений на аргумент не накладывается, поэтому: $D(f):\ \ x \in \mathbb{R}$.

2) Найдём координаты вершины параболы. Её абсцисса: $x_{0} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-3}{2\cdot 5} = \dfrac{3}{10} = \boxed{\textbf{0,3}}$ . Её ордината: $y_{0} = f(x_{0}) = 5\cdot 0,3^2 - 3\cdot 0,3 = 5\cdot 0,09 - 0,9 = 0,45 - 0,9 = \boxed{\textbf{-0,45}}$ .

Таким образом, координаты вершины параболы: $\boxed{\textbf{(0,3;\ -0,45)}}$ .

3) Найдём множество значений данной функции. Её график ограничен снизу, поэтому максимальное значение функции не определено, а минимальное соответствует ординате вершины параболы, значит:

$E(f):\ \ y \in [-0,45; + \infty)}}$.

4) Осью симметрии параболы является прямая, проходящая через вершину параболы и параллельная оси ординат. Таким образом, осью симметрии графика данной функции является прямая  $\boxed{\textbf{x = 0,3}}$ .

5) Нулями функции называются те значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. Получаем:

$f(x) = 0\\5x^2 - 3x = 0\\x(5x-3) = 0\\\left[\begin{gathered}x = 0\\5x - 3 =0\\\end{gathered} \ \ \Leftrightarrow\left[\begin{gathered}x = 0\\5x = 3\\\end{gathered} \ \ \Leftrightarrow \left[\begin{gathered}x=0\\x = 0,6\\\end{gathered}$

Таким образом, функция имеет два нуля: $\boxed{\textbf{0}}$ и $\boxed{\textbf{0,6}}$ .

6) Промежутки знакопостоянства данной параболы напрямую зависят от нулей функции: на интервале от одного нуля до второго функция будет отрицательна, на всех остальных - положительна.

Функция положительна при  $x \in (-\infty; 0)\ \cup\ (0,6; +\infty)$.

Функция отрицательна при  $x \in (0;\ 0,6)$.

7) Промежутки монотонности - это промежутки возрастания и убывания. Для параболы они сменяют друг друга в вершине.

Функция убывает при  $x \in (-\infty;\ 0,3]$ .

Функция возрастает при  $x \in [0,3; +\infty)$ .

8) График пересекает ось Oy в тех точках, где $x = 0$. Абсцисса известна, осталось найти ординату: просто подставляем значение в функцию.

$y = f(0) = 5 \cdot 0^2 - 3\cdot 0 = 0 - 0 = \boxed{\textbf{0}}$ .

Таким образом, график данной функции пересекает ось Oy в точке с координатами $\boxed{\textbf{(0; 0)}}$ .

Answer 2

Конечно, давайте разберемся с функцией F(x) = 5x² - 3x.

1. Начнем с вычисления производной функции F(x) для определения ее области определения (D(f)) и её области значений (E(f)):

   F(x) = 5x² - 3x

   Производная F'(x) будет:

   F'(x) = 10x - 3

   Теперь определим D(f) и E(f):

   D(f) - область определения: любое действительное число x.

   E(f) - область значений: все действительные числа, так как это квадратичная функция.

2. Теперь найдем вершину параболы, а также ось симметрии:

   Функция F(x) = 5x² - 3x имеет параболическую форму, и её вершина находится в точке, где производная равна нулю. Для этого приравняем F'(x) к нулю и решим уравнение:

   10x - 3 = 0 10x = 3 x = 3/10

   Таким образом, вершина параболы находится в точке (3/10, F(3/10)).

   Ось симметрии также проходит через эту точку и параллельна оси x.

3. Найдем нули функции (x, при которых F(x) = 0). Для этого решим уравнение:

   5x² - 3x = 0

   Вынесем общий множитель:

   x(5x - 3) = 0

   Таким образом, нули функции находятся в точках x = 0 и x = 3/5.

4. Определим знакопостоянство функции в различных интервалах:

   • Для x < 0: Возьмем любое отрицательное значение x, например, x = -1. Тогда F(-1) = 5*(-1)² - 3*(-1) = 5 + 3 = 8 > 0. Таким образом, функция положительна на интервале x < 0.

   • Для 0 < x < 3/5: Возьмем значение x = 1/2 (0 < 1/2 < 3/5). Тогда F(1/2) = 5*(1/2)² - 3*(1/2) = 5/4 - 3/2 = -1/4 < 0. Функция отрицательна на этом интервале.

   • Для x > 3/5: Возьмем значение x = 1 (1 > 3/5). Тогда F(1) = 51² - 31 = 5 - 3 = 2 > 0. Функция положительна на интервале x > 3/5.

5. Определим монотонность функции на этих интервалах:

   • На интервале x < 0 функция возрастает (положительный знак производной).

   • На интервале 0 < x < 3/5 функция убывает (отрицательный знак производной).

   • На интервале x > 3/5 функция снова возрастает (положительный знак производной).

6. Найдем пересечение с осью ординат (ОY), что соответствует x = 0. Подставляем x = 0 в уравнение функции:

   F(0) = 50² - 30 = 0

   Таким образом, F(x) пересекает ось ординат в точке (0, 0).

Итак, мы рассмотрели функцию F(x) = 5x² - 3x и определили её основные характеристики в соответствии с вашими запросами.