Question

Дан параллелограмм со сторонами √10 и √30, одна одна из его диагоналей вдвое длинней. Найдите длины диагоналей.

Answer 1

Найдем длины диагоналей по теореме косинусов:

$d_1^2=(\sqrt{10} )^2+(\sqrt{30} )^2-2\cdot\sqrt{10} \cdot\sqrt{30} \cos A=40-20\sqrt{3} \cos A$

$d_2^2=(\sqrt{10} )^2+(\sqrt{30} )^2-2\cdot\sqrt{10} \cdot\sqrt{30} \cos (180^\circ-A)=40+20\sqrt{3} \cos A$

По условию $d_2=2d_1$, тогда $d_2^2=4d_1^2$:

$40+20\sqrt{3} \cos A=4(40-20\sqrt{3} \cos A)$

$40+20\sqrt{3} \cos A=160-80\sqrt{3} \cos A$

$100\sqrt{3} \cos A=120$

$\cos A=\dfrac{120}{100\sqrt{3}} =\dfrac{6}{5\sqrt{3}} =\dfrac{6\sqrt{3}}{5\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} =\dfrac{6\sqrt{3}}{15} =\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$

Найдем диагонали:

$d_1^2=40-20\sqrt{3}\cdot\dfrac{2\sqrt{3} }{5} =40-24=16$

$\Rightarrow d_1=4$

$d_2^2=40+20\sqrt{3}\cdot\dfrac{2\sqrt{3} }{5} =40+24=64$

$\Rightarrow d_2=8$

Ответ: 4 и 8

Answer 2

Для нахождения длин диагоналей параллелограмма, давайте обозначим его стороны и диагонали следующим образом:

Пусть a и b - стороны параллелограмма, где a = √10 и b = √30.

Пусть d1 и d2 - диагонали параллелограмма, где d1 - длиннее диагональ.

Известно, что одна из диагоналей вдвое длиннее другой, поэтому мы можем записать:

d1 = 2d2

Теперь давайте воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, который образуется диагоналями и одной из сторон параллелограмма:

d1^2 = a^2 + b^2

Подставляем значения a и b:

d1^2 = (√10)^2 + (√30)^2 d1^2 = 10 + 30 d1^2 = 40

Теперь мы знаем значение d1^2. Используем наше выражение для d1:

d1 = 2d2

Теперь подставляем значение d1^2:

2d2 = √40

Чтобы найти d2, разделим обе стороны на 2:

d2 = √40 / 2 d2 = √10

Таким образом, длина короткой диагонали d2 равна √10, а длина длинной диагонали d1 равна 2d2, то есть 2√10.